Use o critério da comparaçāo para estudar a natureza das séries seguintes:
  1. sumn=1^+infty 10 n^2n^6+1
  2. sumn=1^+infty 117 n-13
  3. sumn=1^+infty 2+sen(n)n^2
  4. sumn=1^+infty 1raiz[3]2 n^4+1
  5. sumn=1^+infty ne^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para usar o critério da comparação para estudar a natureza de cinco séries diferentes. O critério da comparação é uma técnica usada em cálculo para determinar se uma série infinita converge ou diverge, comparando-a com outra série cujo comportamento a gente já conhece. Para isso, vamos precisar analisar cada termo das séries e encontrar uma série “modelo” que facilite a comparação.

Passo 2

Série 1:
sumn=1^+infty 10 n^2n^6+1
Vamos simplificar o termo geral:
10 n^2n^6+1 approx 10 n^2n^6 = 10n^4
Sabemos que a série sum 1n^4 é uma série p com p = 4 > 1, então ela converge. Como 10 n^2n^6+1 <= 10n^4 para todo n, pela comparação, nossa série também converge.

Passo 3

Série 2:
sumn=1^+infty 117 n-13
Vamos observar o termo geral:
117 n-13 approx 117n = 1n
A série sum 1n é a conhecida série harmônica, que diverge. Como 117n-13 >= 117n, e a série sum 117n também diverge (é uma constante multiplicada pela série harmônica), pela comparação, nossa série diverge.

Passo 4

Série 3:
sumn=1^+infty 2+sen(n)n^2
Primeiro, sabemos que -1 <= sen(n) <= 1, então:
1 <= 2 + sen(n) <= 3
Portanto:
1n^2 <= 2+sen(n)n^2 <= 3n^2
A série sum 1n^2 é uma série p com p = 2 > 1, que converge. Assim, pela comparação, nossa série também converge.

Passo 5

Série 4:
sumn=1^+infty 1raiz[3]2 n^4+1
Vamos analisar o denominador:
raiz[3]2n^4 + 1 approx raiz[3]2n^4 = (2n^4)^1/3 = 2^1/3 n^4/3
Então:
1raiz[3]2n^4+1 approx 12^1/3 n^4/3 = 1n^4/3
A série sum 1n^4/3 é uma série p com p = 43 > 1, que converge. Como 1raiz[3]2n^4+1 <= 1n^4/3, nossa série também converge pela comparação.

Passo 6

Série 5:
sumn=1^+infty ne^n
Vamos comparar com uma série exponencial:
ne^n <= n2^n (pois e > 2 )
A série sum n2^n é uma série geométrica modificada que converge (você pode usar a série geométrica ou o teste da razão para confirmar). Como ne^n <= n2^n e a série com 2^n no denominador converge, pela comparação, nossa série também converge.

Resposta

Todas as séries 1, 3, 4 e 5 convergem, e a série 2 diverge pelo critério da comparação.

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