Use o critério da comparaçāo para estudar a natureza das séries seguintes:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para usar o critério da comparação para estudar a natureza de cinco séries diferentes. O critério da comparação é uma técnica usada em cálculo para determinar se uma série infinita converge ou diverge, comparando-a com outra série cujo comportamento a gente já conhece. Para isso, vamos precisar analisar cada termo das séries e encontrar uma série “modelo” que facilite a comparação.
Passo 2
Série 1:
Vamos simplificar o termo geral:
Sabemos que a série
é uma série p com
, então ela converge. Como
para todo
, pela comparação, nossa série também converge.
Passo 3
Série 2:
Vamos observar o termo geral:
A série
é a conhecida série harmônica, que diverge. Como
, e a série
também diverge (é uma constante multiplicada pela série harmônica), pela comparação, nossa série diverge.
Passo 4
Série 3:
Primeiro, sabemos que
, então:
Portanto:
A série
é uma série p com
, que converge. Assim, pela comparação, nossa série também converge.
Passo 5
Série 4:
Vamos analisar o denominador:
Então:
A série
é uma série p com
, que converge. Como
, nossa série também converge pela comparação.
Passo 6
Série 5:
Vamos comparar com uma série exponencial:
A série
é uma série geométrica modificada que converge (você pode usar a série geométrica ou o teste da razão para confirmar). Como
e a série com
no denominador converge, pela comparação, nossa série também converge.
Resposta
Todas as séries 1, 3, 4 e 5 convergem, e a série 2 diverge pelo critério da comparação.