O pedido é “desacople os estados” do sistema (ou seja, encontrar uma mudança de base de estados que coloque o sistema numa forma canônica em que os estados fiquem organizados em cadeias simples — uma forma que facilita análise e projeto). As informações relevantes são as matrizes A, B e C acima.]
Passo 2
Por que essa escolha de método? Vou usar a base formada pelos vetores de controllability (ou seja, os vetores B,\,AB,\,A^2B,\,A^3B). Isso é natural quando o sistema é completamente controlável, porque nessas coordenadas o par (A,B) vira a forma canônica controlável (companion), que “desacopla” os estados numa cadeia onde o controle entra apenas na primeira coordenada da nova base. Primeiro preciso calcular esses vetores: B,\;AB,\;A^2B,\;A^3B.
Agora verifico se T é invertível (isso garante controlabilidade completa). Calculando o determinante (faço eliminação por linhas/colunas ou qualquer método), obtém-se \det(T)=-2\neq 0. Portanto \operatorname{rank}(T)=4 e o sistema é completamente controlável. Logo posso usar T como matriz de mudança de base.]
Passo 4
Defino a nova coordenada de estados \,z\in\mathbb{R}^4 por
x = T\,z \qquad\text{ou}\qquad z = T^{-1}x.
Nas coordenadas z a dinâmica fica
\dot{z}=T^{-1}AT\,z+T^{-1}B\,u.
Pelo modo como escolhemos T (colunas são B,AB,A^2B,A^3B) vale imediatamente T^{-1}B=e_1 (o primeiro vetor canônico), pois T e_1 = B. Além disso existe uma forma padrão para T^{-1}AT: é a matriz companion (matriz de forma canônica controlável) em que as primeiras três colunas são deslocamentos e a última coluna contém coeficientes que vêm da relação linear entre A^4B e os vetores anteriores.
Passo 5
Para obter explicitamente essa última coluna, calculo A^4B e expresso em função dos vetores base:
Falta a saída na nova base: y=Cx=C T z. Calculo o vetor linha C_{\mathrm{c}}=C\,T. Multiplicando C=[1\\\ -1\\\ 0\\\ 1] por T (colunas calculadas no Passo 2) obtenho
com as matrizes explicitadas acima. Essa é a forma canônica controlável: os estados aparecem em cadeia (cada \dot{z}_i depende basicamente de z_{i+1}, exceto o último que fecha com os coeficientes), o controle entra apenas em z_1 e a saída é uma combinação linear dos z.