Desacople os estados dos sistemas dados em I:
\begin{aligned} & \dot{x}(t)=\left[\begin{array}{rrrr} 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ -1 & -3 & -3 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 & -1 \end{array}\right] x(t)+\left[\begin{array}{r} 0 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ -2 \end{array}\right] u(t) \\\ & y(t)=\left[\begin{array}{rrrr} 1 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right] x(t) \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá o sistema no espaço de estados
\dot{x}(t)=A\,x(t)+B\,u(t),\qquad y(t)=C\,x(t)
com
A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] -1 & -3 & -3 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\\[4pt]-2\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}1 & -1 & 0 & 1\end{pmatrix}.
O pedido é “desacople os estados” do sistema (ou seja, encontrar uma mudança de base de estados que coloque o sistema numa forma canônica em que os estados fiquem organizados em cadeias simples — uma forma que facilita análise e projeto). As informações relevantes são as matrizes A, B e C acima.]

Passo 2

Por que essa escolha de método? Vou usar a base formada pelos vetores de controllability (ou seja, os vetores B,\,AB,\,A^2B,\,A^3B). Isso é natural quando o sistema é completamente controlável, porque nessas coordenadas o par (A,B) vira a forma canônica controlável (companion), que “desacopla” os estados numa cadeia onde o controle entra apenas na primeira coordenada da nova base. Primeiro preciso calcular esses vetores: B,\;AB,\;A^2B,\;A^3B.
Calculemos passo a passo:
B=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Multiplicando A por B,
AB=A\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\\[4pt]-2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]-3\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Multiplicando novamente,
A^2B=A(AB)=A\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]-3\\[4pt]3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\[4pt]-3\\[4pt]6\\[4pt]-6\end{pmatrix}.
E mais uma vez,
A^3B=A(A^2B)=A\begin{pmatrix}1\\[4pt]-3\\[4pt]6\\[4pt]-6\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-3\\[4pt]6\\[4pt]-10\\[4pt]13\end{pmatrix}.]

Passo 3

Formo a matriz de controlabilidade T=[\,B\;\;AB\;\;A^2B\;\;A^3B\,]:
T=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & -3\\[4pt] 0 & 1 & -3 & 6\\[4pt] 1 & -3 & 6 & -10\\[4pt] -2 & 3 & -6 & 13 \end{pmatrix}.
Agora verifico se T é invertível (isso garante controlabilidade completa). Calculando o determinante (faço eliminação por linhas/colunas ou qualquer método), obtém-se \det(T)=-2\neq 0. Portanto \operatorname{rank}(T)=4 e o sistema é completamente controlável. Logo posso usar T como matriz de mudança de base.]

Passo 4

Defino a nova coordenada de estados \,z\in\mathbb{R}^4 por
x = T\,z \qquad\text{ou}\qquad z = T^{-1}x.
Nas coordenadas z a dinâmica fica
\dot{z}=T^{-1}AT\,z+T^{-1}B\,u.
Pelo modo como escolhemos T (colunas são B,AB,A^2B,A^3B) vale imediatamente T^{-1}B=e_1 (o primeiro vetor canônico), pois T e_1 = B. Além disso existe uma forma padrão para T^{-1}AT: é a matriz companion (matriz de forma canônica controlável) em que as primeiras três colunas são deslocamentos e a última coluna contém coeficientes que vêm da relação linear entre A^4B e os vetores anteriores.

Passo 5

Para obter explicitamente essa última coluna, calculo A^4B e expresso em função dos vetores base:
A^4B = A(A^3B)=A\begin{pmatrix}-3\\[4pt]6\\[4pt]-10\\[4pt]13\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}6\\[4pt]-10\\[4pt]15\\[4pt]-26\end{pmatrix}.
Procuro coeficientes c_0,c_1,c_2,c_3 tais que
A^4B = c_0 B + c_1 AB + c_2 A^2B + c_3 A^3B.
Resolvendo o sistema linear T\,c = A^4B (mostrei a montagem antes), encontro
\begin{pmatrix}c_0\\[4pt]c_1\\[4pt]c_2\\[4pt]c_3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1\\[4pt]-4\\[4pt]-6\\[4pt]-4\end{pmatrix}.
Isto também confirma que o polinômio característico de A é
p(\lambda)=\lambda^4+4\lambda^3+6\lambda^2+4\lambda+1=(\lambda+1)^4,
mas o que interessa aqui é a relação anterior que fornece a última coluna da forma companion.]

Passo 6

Com os coeficientes c_i acima, a matriz A na nova base z (isto é, A_{\mathrm{c}}=T^{-1}AT) fica na forma companion:
A_{\mathrm{c}}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & c_0\\[4pt] 1 & 0 & 0 & c_1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & c_2\\[4pt] 0 & 0 & 1 & c_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -1\\[4pt] 1 & 0 & 0 & -4\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -6\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -4 \end{pmatrix}.
Como já disse, B_{\mathrm{c}}=T^{-1}B=e_1:
B_{\mathrm{c}}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 7

Falta a saída na nova base: y=Cx=C T z. Calculo o vetor linha C_{\mathrm{c}}=C\,T. Multiplicando C=[1\\\ -1\\\ 0\\\ 1] por T (colunas calculadas no Passo 2) obtenho
C_{\mathrm{c}}=C\,T=\begin{pmatrix}-2 & 2 & -2 & 4\end{pmatrix}.
Portanto, na coordenada z o sistema fica
\dot{z}=A_{\mathrm{c}}\,z+B_{\mathrm{c}}\,u,\qquad y=C_{\mathrm{c}}\,z,
com as matrizes explicitadas acima. Essa é a forma canônica controlável: os estados aparecem em cadeia (cada \dot{z}_i depende basicamente de z_{i+1}, exceto o último que fecha com os coeficientes), o controle entra apenas em z_1 e a saída é uma combinação linear dos z.

Resposta

T=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & -3\\[4pt] 0 & 1 & -3 & 6\\[4pt] 1 & -3 & 6 & -10\\[4pt] -2 & 3 & -6 & 13 \end{pmatrix},\qquad x=T\,z
A_{\mathrm{c}}=T^{-1}AT= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -1\\[4pt] 1 & 0 & 0 & -4\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -6\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -4 \end{pmatrix}
B_{\mathrm{c}}=T^{-1}B=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad C_{\mathrm{c}}=C\,T=\begin{pmatrix}-2 & 2 & -2 & 4\end{pmatrix}.]

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