Pergunta: “Desacople os estados do sistema”.
Informações relevantes fornecidas:
Matriz A de dimensão 4\times4.
Vetor de entrada B de dimensão 4\times1.
Vetor de saída C de dimensão 1\times4.
Observação: a resolução seguirá decompondo o espaço de estados em subespaços (por exemplo, o subespaço alcançável/controllável) e construindo uma mudança de base que torne evidente o desacoplamento (transformação de coordenadas por uma matriz inversível). A partir daí escrevemos o sistema nas novas coordenadas, mostrando como os estados ficaram separados.]
Passo 2
Determinar o subespaço alcançável/controllável pelo método direto (matriz de controlabilidade) — passo a passo.
Definição prática: a subespaço controlável é o espaço gerado por \{B,\,AB,\,A^2B,\ldots\}. Vamos calcular as primeiras colunas:
Formamos a matriz de controlabilidade \mathcal{C}=[\,B\; AB\; A^2B\; A^3B\,]. Observação direta: todas essas colunas têm componente 2 (segunda linha) igual a zero. Logo o subespaço gerado por elas tem vetor com segunda componente sempre zero; portanto o vetor e_2=(0,1,0,0)^\top não está nesse subespaço e pode servir como complemento. Calculamos o posto dos vetores observando que as colunas B,AB,A^2B são linearmente independentes (pode-se verificar por determinação de um sub-determinante 3×3), então o subespaço controlável tem dimensão 3. Conclusão: dimensão do subespaço controlável = 3. Há um estado não controlável (um grau de liberdade com componente segundo).]
Passo 3
Escolha de uma base conveniente que destaque o subespaço controlável e seu complemento.
Escolhemos como base do subespaço controlável os três vetores coluna que já calculamos (são independentes):
onde z são as novas coordenadas z=(z_1,z_2,z_3,z_4)^\top relativas à base \{v_1,v_2,v_3,v_4\}.
Comentário prático: com essa escolha o subespaço controlável corresponde aos três primeiros eixos z_1,z_2,z_3 e o estado não controlável será z_4.]
Passo 4
Como encontrar a forma transformada [A_z=T^{-1}AT) sem calcular explicitamente T^{-1} — via imagens das colunas da base.
Observação: a j-ésima coluna de A_z é exatamente as coordenadas (na base v_1,\dots,v_4) do vetor A v_j. Portanto calculamos A v_j e escrevemos em coordenadas da base.
Já calculamos:
A v_1 = A B = v_2,\qquad A v_2 = A^2 B = v_3,\qquad A v_3 = A^3 B.
Assim:
A v_1 = v_2 tem coordenadas (0,1,0,0)^\top na base \{v_j\}.
A v_2 = v_3 tem coordenadas (0,0,1,0)^\top.
Falta expressar A v_3 e A v_4 na base.
Calculamos A v_3 = A^3 B = \begin{pmatrix}-1\\[2pt]0\\[2pt]30\\[2pt]16\end{pmatrix}. Queremos encontrar escalares a,b,c,d tais que
A v_3 = a v_1 + b v_2 + c v_3 + d v_4.
Como o segundo componente de A v_3 é 0 e v_4 é o único vetor com segunda componente não nula, concluímos d=0. Então reduzimos a
Escrevendo componente a componente obtemos o sistema (somente nas linhas 1,3,4, pois a 2ª já fixou d=0):
\begin{cases} a - b + c = -1,\\[4pt] - a + 4b -11c = 30,\\[4pt] 2b -6c = 16. \end{cases}
Resolvendo (passo a passo): da terceira equação (2b-6c=16\Rightarrow b=8+3c]. Substituindo nas outras duas e resolvendo obtemos c=-5,\quad b=-7,\quad a=-3.
Logo A v_3 = -3 v_1 -7 v_2 -5 v_3.
Agora A v_4\). Lembrando \(v_4=e_2\), temos \(A v_4\) igual à segunda coluna de \(A\):
\[A v_4 = A e_2 = \begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Procuramos a,b,c,d tais que
\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix} = a v_1 + b v_2 + c v_3 + d v_4.
Da segunda componente segue d=0. Das demais componentes obtemos o sistema
\begin{cases} a - b + c = 1,\\[4pt] - a +4b -11c = 0,\\[4pt] 2b -6c = 1. \end{cases}
Resolvendo: da terceira equação (b= \tfrac12 +3c]. Substituindo e resolvendo obtemos c=\tfrac12,\quad b=2,\quad a=\tfrac{5}{2}.
Logo A v_4 = \tfrac{5}{2}v_1 + 2 v_2 + \tfrac{1}{2} v_3.]
Passo 5
Construção explícita das matrizes transformadas: A_z=T^{-1}AT, B_z=T^{-1}B, C_z=C\,T.
As colunas de A_z são as coordenadas que encontramos:
coluna 1 (imagem de v_1) = \begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix},
coluna 2 (imagem de v_2) = \begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix},
coluna 3 (imagem de v_3) = \begin{pmatrix}-3\\[2pt]-7\\[2pt]-5\\[2pt]0\end{pmatrix},
coluna 4 (imagem de v_4) = \begin{pmatrix}\tfrac{5}{2}\\[2pt]2\\[2pt]\tfrac{1}{2}\\[2pt]0\end{pmatrix}.
o subespaço controlável é os três primeiros estados z_c;
z_4 é não controlável (pois \dot z_4=0 e não aparece em B_z);
z_4 influencia os estados controláveis através de A_{c4} (é um termo de “forçamento” constante porque \dot z_4=0), mas não é possível controlar z_4 com u;
a saída y depende apenas de z_c (coeficiente de z_4 em C_z é zero).
Esse é o desacoplamento pedido: uma decomposição em subespacos controlável (dimensão 3) e não controlável (dimensão 1), com as matrizes explicitadas.]