O pedido é “desacoplar os estados”: isto significa encontrar uma transformação de mudança de base (matriz S invertível) que leve o sistema para coordenadas modais z tal que
x = S\,z, \qquad \dot z = \Lambda z + B_z\,u, \qquad y = C_z\,z,
onde \Lambda é diagonal (ou bloco-diagonal simples) — ou seja, encontrar a decomposição modal do sistema e escrever as matrizes \Lambda, B_z e C_z. Todas as informações necessárias estão acima.]
Passo 2
Vamos usar decomposição modal (autovalores/autovetores) para diagonalizar A. Primeiro calculamos o polinômio característico de A. Note que a última linha de A-\lambda I é (0,0,0,-1-\lambda), então
Agora encontramos autovetores correspondentes. Comecemos por \lambda=1. Devemos resolver (A-I)v=0. Das equações (escrevo só os passos algébricos essenciais):
Da primeira linha: -\tfrac{3}{2}v_1-\tfrac{3}{2}v_3=0\Rightarrow v_1+v_3=0.
Da segunda linha: -\tfrac{1}{2}v_1-3v_2+\tfrac{1}{2}v_3=0\Rightarrow v_1+3v_2=0.
Da terceira linha aparece o termo com v_4 e forçará v_4=0.
Solucionando essas equações damos um autovetor (escolhendo v_2=1):
v^{(1)}=\begin{pmatrix}-3\\[2pt]1\\[2pt]3\\[2pt]0\end{pmatrix}, \quad\text{associado a }\lambda=1.]
Passo 5
Para \lambda=-2 resolvemos (A+2I)v=0. Das equações obtemos:
As equações implicam v_1=v_3 e não comprometem v_2.
A equação correspondente a v_4 com a linha 4 dá v_4=0.
Portanto a multiplicidade geométrica é 2 e podemos escolher duas vetores independentes:
Definimos a mudança de coordenadas x=S z. Então a dinâmica modal é
\dot z = \Lambda z + B_z u,\qquad y=C_z z,
com \Lambda=\operatorname{diag}(1,-2,-2,-1). Precisamos de B_z=S^{-1}B e C_z=C S.]
Passo 8
Calculamos S^{-1}B resolvendo S\alpha=B. Escrevendo as equações, da 4ª linha vem 8\alpha_4=0\Rightarrow \alpha_4=0. Das restantes obtemos \alpha_1+\alpha_3=0 e as duas equações para as linhas 1 e 3 levam a \alpha_1=0 e, em seguida, \alpha_2=1. Assim
(Interpretação física rápida: a entrada u excita apenas o modo associado ao segundo autovetor escolhido, o modo com \lambda=-2 correspondente a v^{(2)}.)]
Passo 9
Calculamos C_z=C S fazendo produto linha por coluna: