Para o sistema anterior, considerando n=6, use a programação computacional para obter a resposta temporal do 4^{\circ} \mathrm{GDL}. Use os seguintes valores: m_{i}=4 k g \quad i=1: 6 \quad k_{i}=4 N / m \quad i=1: 6

Passo 1

O enunciado pede: obter, por programação computacional, a resposta temporal do 4^{\circ} grau de liberdade (GDL) para o “sistema anterior” considerando n=6. Os dados fornecidos no enunciado são:
  • n=6 (seis graus de liberdade).
  • m_{i}=4\\ \mathrm{kg} para i=1:6.
  • k_{i}=4\\ \mathrm{N/m} para i=1:6.
O que especificamente o enunciado me solicita calcular é: a função x_{4}(t) — ou seja, a evolução temporal do deslocamento do quarto GDL — obtida por meio de programação (MATLAB/Python/Scilab etc.).

Passo 2

Informo imediatamente uma limitação importante: não há informação suficiente no enunciado enviado para calcular numericamente x_{4}(t). Explico por quê — enumero as informações que faltam e por que cada uma é necessária:
  1. Topologia / conectividade do sistema (como as massas e molas estão conectadas): sem saber se os k_{i} ligam massa a massa, massa ao solo, ou um arranjo diferente, não dá para montar a matriz de rigidez K. A matriz K depende explicitamente de como cada mola está conectada.
  2. Condições de contorno (extremidades fixas, livres, ligadas a molas ao solo etc.): isto muda os termos das diagonais de K.
  3. Presença e modelo de amortecimento C (se houver): para resposta temporal realista precisamos saber se há amortecimento e quais os coeficientes; se não houver amortecimento a resposta será de vibração livre/forçada não amortecida.
  4. Forças externas F(t) (se a pergunta é por resposta forçada) ou condições iniciais x(0) e \dot{x}(0) (se a pergunta é por resposta livre com condições iniciais): sem isso não se define a solução única no tempo.
  5. Interpretação dos índices de k_{i}: você deu k_{i} para i=1:6 enquanto tipicamente um arranjo em cadeia com n=6 massas tem n-1=5 molas entre massas (ou n+1=7 se houver molas às duas extremidades). É necessário saber a que cada k_i corresponde.
    Sem essas informações não há como montar M, K (e possivelmente C) corretamente e, portanto, não é possível produzir um resultado numérico para x_{4}(t).

Passo 3

Mesmo sem valores numéricos finais, eu ensino passo a passo o procedimento correto e compacto que você deve programar para obter x_{4}(t) assim que tiver a topologia e as condições completas. Vou assumir a formulação geral de movimento restrito a translações coordenadas x(t) (vetor de dimensão n):
M\ddot{x}(t) + C\dot{x}(t) + K x(t) = F(t).
Aqui:
  • M é a matriz de massa (geralmente diagonal, com M_{ii}=m_i),
  • C é a matriz de amortecimento (pode ser zero se não houver amortecimento),
  • K é a matriz de rigidez,
  • F(t) é o vetor de forças externas (se existir),
  • x(t) é o vetor de deslocamentos (x_1(t),\dots,x_6(t))^\mathsf{T}.
Passos teóricos para solução (método modal — o método padrão e eficiente para sistemas lineares com M e K simétricos positivos):
  1. Montar M e K conforme a topologia. Ex.: M=\mathrm{diag}(m_1,\dots,m_6).
  2. Resolver o problema de autovalores generalizado (autovetores/modos):
K\phi_j = \omega_j^2 M\phi_j,\quad j=1,\dots,6,
onde \omega_j são as frequências naturais (rad/s) e \phi_j os modos.
3. Normalizar os modos em massa para que \phi_j^\mathsf{T} M \phi_k = \delta_{jk} (identidade), isto simplifica projeções modais.
4. Expandir x(t)=\Phi q(t), onde \Phi=[\phi_1,\dots,\phi_6] e q(t) contém coordenadas modais.
5. Projetar as equações sobre modos e obter um conjunto desacoplado de equações escalares:
\ddot{q}_j(t) + 2\zeta_j \omega_j \dot{q}_j(t) + \omega_j^2 q_j(t) = f_j(t),
onde f_j(t)=\phi_j^\mathsf{T} F(t) e \zeta_j são fatores de amortecimento modal (se houver). No caso sem amortecimento, o termo com \zeta_j é nulo.
6. Resolver cada equação modal (analiticamente se F(t) simples, ou numericamente) e recompor:
x(t)=\sum_{j=1}^{6} \phi_j q_j(t).
Então a componente que você quer é a quarta componente:
x_4(t)=\bigl[x(t)\bigr]_4 = \sum_{j=1}^{6} \phi_{4j}\, q_j(t),
onde \phi_{4j} é a linha 4 do vetor de modo \phi_j.

Passo 4

Vou agora dar as fórmulas explícitas para o caso mais comum: resposta livre (sem forças externas F(t)=0) com condições iniciais x(0)=x_0 e \dot{x}(0)=v_0, e sem amortecimento ( C=0). Isto é o que frequentemente pedem em provas quando dizem “resposta temporal” sem especificar forças. Para esse caso:
  1. A projeção inicial nas coordenadas modais é
a_j = \phi_j^\mathsf{T} M x_0,\qquad b_j = \phi_j^\mathsf{T} M v_0.
  1. A solução modal é
q_j(t) = a_j\cos(\omega_j t) + \frac{b_j}{\omega_j}\sin(\omega_j t).
  1. Logo,
x_4(t)=\sum_{j=1}^{6} \phi_{4j}\left(a_j\cos(\omega_j t) + \frac{b_j}{\omega_j}\sin(\omega_j t)\right).
Observações importantes:
  • As fórmulas acima exigem que os modos estejam normalizados por massa conforme \phi_j^\mathsf{T} M \phi_j =1. Se você obtiver modos não normalizados, é preciso dividir por \phi_j^\mathsf{T} M \phi_j nas projeções.
  • Se houver amortecimento proporcional (Rayleigh) C=\alpha M + \beta K, os modos permanecem os mesmos e \zeta_j pode ser obtido; senão, para amortecimento geral, a decomposição modal fica mais complexa.

Passo 5

Agora mostro um esqueleto de código em Python (com NumPy/SciPy) que implementa todo o fluxo e entrega x_4(t). Este código é genérico: você só precisa fornecer as matrizes M e K corretas (montadas segundo a topologia do seu sistema), as condições iniciais e, opcionalmente, C e F(t).
(Sintaxe e nomes em texto; quando você rodar, copie para um arquivo .py ou notebook e execute.)
  1. Construção e solução modal (Python):
\text{\# imports: numpy as np, scipy.linalg as la}
  1. Dados básicos (exemplo genérico, você substituirá M e K reais):
M = \mathrm{diag}(4,4,4,4,4,4)\quad (\text{matriz }6\times6)
K = \text{(matriz de rigidez construída conforme a topologia)}í
  1. Problema de autovalores generalizado:
\text{eigvals, eigvecs} = \text{la.eigh}(K, M)
Aqui \text{eigvals} = \omega_j^2. Calcule \omega_j = \sqrt{\text{eigvals}} e normalize os vetores próprios por massa:
\phi_j \leftarrow \phi_j / \sqrt{\phi_j^\mathsf{T} M \phi_j}.
  1. Projeção das condições iniciais:
a_j = \phi_j^\mathsf{T} M x_0,\qquad b_j = \phi_j^\mathsf{T} M v_0.
  1. Calcule q_j(t) para um vetor de tempos t e recomponha x_4(t):
x_4(t) = \sum_{j=1}^{6} \phi_{4j}\left(a_j\cos(\omega_j t) + \frac{b_j}{\omega_j}\sin(\omega_j t)\right).
  1. Se houver F(t), calcule f_j(t)=\phi_j^\mathsf{T} F(t) e resolva a EDO do segundo ordem para cada modo (p.ex. com integração numérica ou fórmula de convolução para forças harmônicas).

Passo 6

Vou explicar como montar uma matriz K em um caso típico para você reconhecer quando o “sistema anterior” for esse: massa em cadeia com molas entre massas e com extremidades fixas (caso muito comum). Para n massas e molas entre massas mais duas molas nas extremidades (uma antes da primeira massa e outra depois da última), a forma geral é:
  • K_{ii} = k_{i} + k_{i+1} para i=1,\dots,n,
  • K_{i,i+1}=K_{i+1,i} = -k_{i+1} para i=1,\dots,n-1,
    com a convensão de que k_1 é a mola da esquerda à primeira massa, k_{2} entre massas 1 e 2, …, k_{n+1} à direita da última massa. Note que aí são necessárias n+1 constantes k. Se o seu vetor k tem outro significado, adapte a montagem de K conforme a conectividade real.

Passo 7

Resumo prático do que você precisa fornecer (ou confirmar no “sistema anterior”) para eu ou o seu código produzirmos x_{4}(t) numericamente:
  • Desenho/topologia: quais molas ligam a quais massas e se existem molas ao solo nas extremidades.
  • Confirmação do significado de cada k_i (o que cada índice representa).
  • Condições de contorno (extremidades fixas ou livres).
  • Amortecimento: existe? se sim, quais coeficientes (ou se usa amortecimento proporcional, quais \alpha,\beta).
  • Entrada: são dadas forças F(t) ou apenas condições iniciais x(0) e \dot{x}(0)? Se for com forças, fornecer F(t).
    Com essas informações, o procedimento e o código que descrevi produzem imediatamente x_4(t).

Resposta

Não é possível obter numericamente a resposta temporal de x_{4}(t) porque falta a descrição da topologia do sistema (como as molas k_i estão conectadas), as condições de contorno, e as condições iniciais ou forças externas (além da informação de massas e constantes de mola). Forneça (ou confirme) esses itens para que eu gere a solução numérica completa.

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