Para o sistema anterior, considerando
, use a programação computacional para obter a resposta temporal do
. Use os seguintes valores:
Passo 1
O enunciado pede: obter, por programação computacional, a resposta temporal do
grau de liberdade (GDL) para o “sistema anterior” considerando
. Os dados fornecidos no enunciado são:
-
(seis graus de liberdade). -
para . -
para .
O que especificamente o enunciado me solicita calcular é: a função
— ou seja, a evolução temporal do deslocamento do quarto GDL — obtida por meio de programação (MATLAB/Python/Scilab etc.).
Passo 2
Informo imediatamente uma limitação importante: não há informação suficiente no enunciado enviado para calcular numericamente
. Explico por quê — enumero as informações que faltam e por que cada uma é necessária:
- Topologia / conectividade do sistema (como as massas e molas estão conectadas): sem saber se os
ligam massa a massa, massa ao solo, ou um arranjo diferente, não dá para montar a matriz de rigidez . A matriz depende explicitamente de como cada mola está conectada. - Condições de contorno (extremidades fixas, livres, ligadas a molas ao solo etc.): isto muda os termos das diagonais de
. - Presença e modelo de amortecimento
(se houver): para resposta temporal realista precisamos saber se há amortecimento e quais os coeficientes; se não houver amortecimento a resposta será de vibração livre/forçada não amortecida. - Forças externas
(se a pergunta é por resposta forçada) ou condições iniciais e (se a pergunta é por resposta livre com condições iniciais): sem isso não se define a solução única no tempo. - Interpretação dos índices de
: você deu para enquanto tipicamente um arranjo em cadeia com massas tem molas entre massas (ou se houver molas às duas extremidades). É necessário saber a que cada corresponde.
Sem essas informações não há como montar, (e possivelmente ) corretamente e, portanto, não é possível produzir um resultado numérico para .
Passo 3
Mesmo sem valores numéricos finais, eu ensino passo a passo o procedimento correto e compacto que você deve programar para obter
assim que tiver a topologia e as condições completas. Vou assumir a formulação geral de movimento restrito a translações coordenadas
(vetor de dimensão
):
Aqui:
-
é a matriz de massa (geralmente diagonal, com ), -
é a matriz de amortecimento (pode ser zero se não houver amortecimento), -
é a matriz de rigidez, -
é o vetor de forças externas (se existir), -
é o vetor de deslocamentos .
Passos teóricos para solução (método modal — o método padrão e eficiente para sistemas lineares com
e
simétricos positivos):
- Montar
e conforme a topologia. Ex.: . - Resolver o problema de autovalores generalizado (autovetores/modos):
onde
são as frequências naturais (rad/s) e
os modos.
3. Normalizar os modos em massa para que (identidade), isto simplifica projeções modais.
4. Expandir , onde
e
contém coordenadas modais.
5. Projetar as equações sobre modos e obter um conjunto desacoplado de equações escalares:
3. Normalizar os modos em massa para que
4. Expandir
5. Projetar as equações sobre modos e obter um conjunto desacoplado de equações escalares:
onde
e
são fatores de amortecimento modal (se houver). No caso sem amortecimento, o termo com
é nulo.
6. Resolver cada equação modal (analiticamente se simples, ou numericamente) e recompor:
6. Resolver cada equação modal (analiticamente se
Então a componente que você quer é a quarta componente:
onde
é a linha
do vetor de modo
.
Passo 4
Vou agora dar as fórmulas explícitas para o caso mais comum: resposta livre (sem forças externas
) com condições iniciais
e
, e sem amortecimento (
). Isto é o que frequentemente pedem em provas quando dizem “resposta temporal” sem especificar forças. Para esse caso:
- A projeção inicial nas coordenadas modais é
- A solução modal é
- Logo,
Observações importantes:
- As fórmulas acima exigem que os modos estejam normalizados por massa conforme
. Se você obtiver modos não normalizados, é preciso dividir por nas projeções. - Se houver amortecimento proporcional (Rayleigh)
, os modos permanecem os mesmos e pode ser obtido; senão, para amortecimento geral, a decomposição modal fica mais complexa.
Passo 5
Agora mostro um esqueleto de código em Python (com NumPy/SciPy) que implementa todo o fluxo e entrega
. Este código é genérico: você só precisa fornecer as matrizes
e
corretas (montadas segundo a topologia do seu sistema), as condições iniciais e, opcionalmente,
e
.
(Sintaxe e nomes em texto; quando você rodar, copie para um arquivo .py ou notebook e execute.)
- Construção e solução modal (Python):
- Dados básicos (exemplo genérico, você substituirá M e K reais):
- Problema de autovalores generalizado:
Aqui
. Calcule
e normalize os vetores próprios por massa:
- Projeção das condições iniciais:
- Calcule
para um vetor de tempos e recomponha :
- Se houver
, calcule e resolva a EDO do segundo ordem para cada modo (p.ex. com integração numérica ou fórmula de convolução para forças harmônicas).
Passo 6
Vou explicar como montar uma matriz
em um caso típico para você reconhecer quando o “sistema anterior” for esse: massa em cadeia com molas entre massas e com extremidades fixas (caso muito comum). Para
massas e molas entre massas mais duas molas nas extremidades (uma antes da primeira massa e outra depois da última), a forma geral é:
-
para , -
para ,
com a convensão de queé a mola da esquerda à primeira massa, entre massas 1 e 2, …, à direita da última massa. Note que aí são necessárias constantes . Se o seu vetor tem outro significado, adapte a montagem de conforme a conectividade real.
Passo 7
Resumo prático do que você precisa fornecer (ou confirmar no “sistema anterior”) para eu ou o seu código produzirmos
numericamente:
- Desenho/topologia: quais molas ligam a quais massas e se existem molas ao solo nas extremidades.
- Confirmação do significado de cada
(o que cada índice representa). - Condições de contorno (extremidades fixas ou livres).
- Amortecimento: existe? se sim, quais coeficientes (ou se usa amortecimento proporcional, quais
). - Entrada: são dadas forças
ou apenas condições iniciais e ? Se for com forças, fornecer .
Com essas informações, o procedimento e o código que descrevi produzem imediatamente.
Resposta
Não é possível obter numericamente a resposta temporal de
porque falta a descrição da topologia do sistema (como as molas
estão conectadas), as condições de contorno, e as condições iniciais ou forças externas (além da informação de massas e constantes de mola). Forneça (ou confirme) esses itens para que eu gere a solução numérica completa.