V\left(x_{1}, x_{2}\right)=\sum_{i=1}^{2} \int_{x_{i}^{*}}^{x_{i}} \frac{y-x_{i}^{*}}{y} d y
(a) Mostre que a expressão (1) define uma função de Lyapunov, admitindo V\left(x_{1}^{*}, x_{2}^{*}\right)=0, para o caso em que x_{i}^{*}>0 e x_{i}>0, sendo x_{i}^{*} um ponto de equilíbrio.
(b) Prove que o sistema dinâmico
\begin{aligned} & \dot{x}_{1}=x_{1}\left(a-x_{2}\right), \\\ & \dot{x}_{2}=x_{2}\left(-b+x_{1}\right), \quad a, b>0, \end{aligned}
possui estabilidade global no ponto de equilíbrio \left(x_{1}^{*}, x_{2}^{*}\right)=(b, a). Utilize a função V\left(x_{1}, x_{2}\right) definida em (1).
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
assumimos que \,x_i^*>0 e que as variáveis consideradas satisfazem x_i>0 (domínio positivo). O enunciado fixa que (x_1^*,x_2^*) é um ponto de equilíbrio e que V(x_1^*,x_2^*)=0.
Pergunta (a): Mostrar que a expressão acima define uma função de Lyapunov (sob as hipóteses dadas). Ou seja, mostrar que V é contínua/diferenciável no domínio, que V(x^*)=0 e que V(x)>0 para x\neq x^* (positiva-definida) — estas são as propriedades essenciais pedidas.
Verificar a propriedade V(x^*)=0 e continuidade/diferenciabilidade no domínio x_i>0.
Se x_i=x_i^* para i=1,2, cada parcela (x_i-x_i^*)-x_i^*\ln(x_i/x_i^*) vale 0- x_i^*\ln(1)=0. Portanto
V(x_1^*,x_2^*)=0+0=0,
conforme dado.
A expressão obtida para V é combinação de funções x_i e \ln(x_i) definidas e diferenciáveis para x_i>0. Logo V é contínua e C^1 no domínio considerado.
Passo 4
Provar que V é positiva-definida: V(x)>0 para x\neq x^* com x_i>0.
Defina para z>0 a função
h(z)=z-1-\ln z.
Note que h'(z)=1-\dfrac{1}{z} e h''(z)=\dfrac{1}{z^2}>0 para todo z>0. Assim h é estritamente convexa e tem mínimo em z=1 (onde h'(1)=0). Avaliando o mínimo obtemos h(1)=0. Portanto h(z)\ge 0 para todo z>0, com igualdade somente em z=1.
Agora, para cada i escreva z_i=\dfrac{x_i}{x_i^*} (note que z_i>0). A parcela da soma em V pode ser reescrita como
Como x_i^*>0 e h(z_i)\ge0, segue que cada parcela é \ge0 e igual a zero somente se z_i=1, isto é, x_i=x_i^*.
Conclusão: V(x_1,x_2)\ge0 para todo x_i>0, e V(x_1,x_2)=0 se e somente se (x_1,x_2)=(x_1^*,x_2^*). Assim V é positiva-definida. Isso completa a verificação de que V é uma função de Lyapunov (no sentido de Lyapunov, isto é, positiva-definida e com V(x^*)=0).
Passo 5
Calcular a derivada de V ao longo das trajetórias do sistema (derivada de Lie ou derivada no tempo) para o sistema dado.
Regra: se V(x)=\sum_i \int_{x_i^*}^{x_i} f_i(y)\,dy então
\dot V=\sum_{i=1}^2 f_i(x_i)\dot x_i,
pois a derivada temporal apenas atua no limite superior da integral. No nosso caso f_i(y)=\dfrac{y-x_i^*}{y}, portanto
\dot V = \frac{x_1-x_1^*}{x_1}\,x_1(a-x_2) + \frac{x_2-x_2^*}{x_2}\,x_2(-b+x_1).
Os fatores x_i simplificam, ficando
\dot V = (x_1-x_1^*)(a-x_2) + (x_2-x_2^*)(-b+x_1).
Passo 6
Especializar para o ponto de equilíbrio (x_1^*,x_2^*)=(b,a) e simplificar \dot V.
Substituindo x_1^*=b e x_2^*=a obtenho
\dot V = (x_1-b)(a-x_2) + (x_2-a)(-b+x_1).
Reescrevendo a-x_2=-(x_2-a) e -b+x_1=(x_1-b), temos
\dot V = (x_1-b)\bigl(-(x_2-a)\bigr) + (x_2-a)(x_1-b).
Os dois termos são opostos e se cancelam, logo
\dot V = 0
para todo x_1>0,x_2>0. Em outras palavras, V é conservada ao longo das trajetórias do sistema: V(x(t)) é constante no tempo.
Passo 7
Concluir estabilidade global em (b,a) usando as propriedades de V.
Resumo das propriedades obtidas:
V é contínua e C^1 no domínio x_i>0.
V(x)\ge0 para todo x no domínio e V(x)=0 se e somente se x=(b,a) (positiva-definida).
\dot V(x)=0 para todas as trajetórias no domínio.
A prova de estabilidade (em sentido de Lyapunov) usa a conservação de V e o fato de que níveis de V formam conjuntos compactos ao redor de x^*. Formalmente:
Seja \varepsilon>0 arbitrário. Considere a esfera fechada de raio \varepsilon centrada em x^*:
S_\varepsilon=\{x:\|x-x^*\|=\varepsilon\}.
Por compacidade e pelo fato de V ser contínua e positiva-definida, existe
c=\min_{x\in S_\varepsilon} V(x)>0.
Agora, pela continuidade de V em x^* existe \delta>0 tal que \|x-x^*\|<\delta implica V(x)<c. Portanto, se a condição inicial satisfaz \|x(0)-x^*\|<\delta, então V(x(0))<c. Como V é constante ao longo da solução, para todo t\ge0 vale V(x(t))=V(x(0))<c. Isso impede que a solução saia da bola de raio \varepsilon (caso saísse haveria um instante em que atingiria a esfera S_\varepsilon e então teríamos V\ge c naquele tempo, contradição). Logo \|x(t)-x^*\|<\varepsilon para todo t\ge0. Isso é exatamente a definição de estabilidade de Lyapunov.
Essa escolha de \varepsilon foi arbitrária e a construção funciona para qualquer \varepsilon>0, portanto o equilíbrio é estável. Como as condições valem para todo ponto do domínio x_i>0 e o argumento não exige restrição local extra, costuma dizer-se que a estabilidade é global no domínio positivo: pequenas perturbações iniciais permanecem pequenas para todo tempo e a propriedade não depende de uma vizinhança extremamente pequena além da indicada pelo \delta construído. Observação importante: como \dot V\equiv0, não há diminuição de V ao longo do tempo, portanto o equilíbrio NÃO é assintoticamente estável — as trajetórias geralmente percorrem órbitas fechadas (é o comportamento clássico do sistema de Lotka–Volterra), mantendo V constante.
Resposta
(a) V é contínua e C^1 para x_i>0, satisfaz V(x^*)=0 e V(x)>0 para x\neq x^*; portanto define uma função de Lyapunov (positiva-definida) no domínio x_i>0.
(b) Ao longo das trajetórias do sistema tem-se \dot V\equiv 0; portanto V é conservada e os conjuntos de nível de V impedem que soluções saiam de vizinhanças arbitrárias de (b,a). Assim (b,a) é estável globalmente (em sentido de Lyapunov) no domínio x_i>0. Observação: o equilíbrio não é assintoticamente estável (as trajetórias em geral são periódicas).