Um gás ideal inicialmente a 25^{\circ} \mathrm{C} e 3 atm contido num cilindro de 500 L é expandido a 750 L , movimentando um pistão isento de atrito. Calcule o trabalho (em joules) realizado no processo supondo expansão a \mathrm{T}= constante. Despreze as variações de energia potencial devido ao movimento do pistão.
1 \mathrm{~atm}=101,325 \mathrm{kPa} ; 1 \mathrm{~J}=1 \mathrm{~N} . \mathrm{m} ; 1 \mathrm{~Pa}=1 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o trabalho realizado durante a expansão isoterma de um gás ideal. Dados fornecidos:
  • Temperatura inicial T_i = 25^{\circ}\mathrm{C}.
  • Pressão inicial P_i = 3\\ \mathrm{atm}.
  • Volume inicial V_i = 500\\ \mathrm{L}.
  • Volume final V_f = 750\\ \mathrm{L}.
  • Converter 1\\ \mathrm{atm} = 101{,}325\\ \mathrm{kPa} (vou usar em Pa: 1\\ \mathrm{atm}=101{,}325\\ \mathrm{Pa}).
  • Pedem o trabalho em joules. Desprezar variação de energia potencial e atrito (pistão livre).
    O que vamos calcular: o trabalho W realizado pelo gás na expansão isoterma (isto é, trabalho feito pelo gás sobre o ambiente).

Passo 2

Primeiro padronizar unidades para o SI (porque a constante dos gases e a fórmula de trabalho usam SI).
  • Converter temperatura para kelvin:
T = 25^{\circ}\mathrm{C} = 25 + 273{,}15 = 298{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Converter pressão para pascal:
P_i = 3\\ \mathrm{atm} = 3\times101{,}325\\ \mathrm{kPa} = 303{,}975\\ \mathrm{kPa}.
Mas \mathrm{kPa} não é a unidade base; usar pascal ( 1\\ \mathrm{kPa}=1000\\ \mathrm{Pa}):
P_i = 303{,}975\\ \mathrm{kPa}=303{,}975\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}=303{,}975\\ \mathrm{Pa}\\ \text{(já em Pa se multiplicarmos 101{,}325 por 3 dá 303{,}975 Pa? Atenção: 1 atm = 101{,}325 Pa, logo }3\\ \mathrm{atm}=303{,}975\\ \mathrm{Pa}).ááçã
(Obs.: já está em \mathrm{Pa}.)
  • Converter volumes de litros para metros cúbicos:
V_i = 500\\ \mathrm{L} = 500\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^3 = 0{,}500\\ \mathrm{m}^3,
V_f = 750\\ \mathrm{L} = 750\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^3 = 0{,}750\\ \mathrm{m}^3.

Passo 3

Relembrando a física que usamos: para um gás ideal em processo isoterma (temperatura constante) o trabalho realizado pelo gás, assumindo um processo reversível (pistão sem atrito e movimento quasistático), é dado por
W=\int_{V_i}^{V_f} P\,\mathrm{d}V.
Pela equação de estado do gás ideal temos P=\dfrac{nRT}{V}. Substituindo na integral:
W=\int_{V_i}^{V_f} \dfrac{nRT}{V}\,\mathrm{d}V = nRT\int_{V_i}^{V_f}\dfrac{1}{V}\,\mathrm{d}V = nRT\ln\!\left(\dfrac{V_f}{V_i}\right).
Aqui:
  • W é o trabalho realizado pelo gás (unidade \mathrm{J}),
  • n é o número de mols do gás,
  • R é a constante universal dos gases R=8{,}314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}},
  • T é a temperatura absoluta (em K),
  • V_i e V_f são volumes inicial e final.
Observação útil: como nRT = P_i V_i (pela lei dos gases ideais em qualquer ponto da isoterma), pode-se calcular o trabalho também por
W = P_i V_i \ln\!\left(\dfrac{V_f}{V_i}\right),
o que evita calcular n explicitamente. Vou usar essa forma porque já temos P_i e V_i (em SI).

Passo 4

Calcular P_i V_i com as unidades SI (lembrando que 1\\ \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{m}^3 = 1\\ \mathrm{J}):
P_i V_i = \bigl(303{,}975\\ \mathrm{Pa}\bigr)\cdot\bigl(0{,}500\\ \mathrm{m}^3\bigr) = 151{,}987{,}5\\ \mathrm{J}.
Portanto nRT = 151{,}987{,}5\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Calcular o fator logarítmico:
\ln\!\left(\dfrac{V_f}{V_i}\right)=\ln\!\left(\dfrac{0{,}750}{0{,}500}\right)=\ln(1{,}5)=0{,}405465108\ldots

Passo 6

Agora o trabalho:
W = P_i V_i \ln\!\left(\dfrac{V_f}{V_i}\right)=151{,}987{,}5\cdot 0{,}405465108\ldots
Fazendo a multiplicação:
W \approx 61{,}625{,}6\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Interpretação do sinal: o valor calculado é positivo, o que significa que o trabalho é realizado pelo gás sobre o ambiente (o gás expande e empurra o pistão). Se alguém pedisse o trabalho realizado sobre o gás, o valor seria com sinal negativo.

Resposta

W\approx61{,}626\\ \mathrm{J}

Exercícios relacionados