(Desafio!) O disco de acreção de um buraco negro não “encosta” no horizonte de eventos. Ele termina na Órbita Circular Estável Mais Interna (Innermost Stable Circular Orbit - ISCO). Abaixo desse raio, a matéria perde a estabilidade e colapsa mergulhando diretamente em direção à singularidade no buraco negro.
Para um buraco negro de Schwarzschild (esféricamente simétrico, estático), o raio de Schwarzschild ( R_{s} ) é calculado como:
R_{s}=\frac{2 G M}{c^{2}}
Para 10 M_{\odot} (massas solares), temos que:
  • Raio de Schwarzschild \left(R_{s}\right) : aproximadamente 30 km .
  • ISCO: Para um buraco negro de Schwarzschild, a ISCO fica a 3 R_{s}.
R_{I S C O}=3 \times 30 \mathrm{~km}=90 \mathrm{~km}
Imagine que o gás do disco de acreção é como a água em um ralo, mas um ralo que gira a frações significativas da velocidade da luz. Temos um buraco negro onde o limite interno do disco (a I S C O ) está a R_{I S C O}=90 \mathrm{~km}. Imagine que o plasma ali gira com um campo de velocidades \mathbf{V}.
Para facilitar, vamos assumir um modelo simplificado (do tipo galinha esférica no vácuo!) onde a velocidade do gás perto da borda interna pode ser descrita por um campo vetorial bidimensional:
\mathbf{V}(x, y)=(-y, x)
(Isso representa uma rotação pura e uniforme. Na vida real é mais complexo, mas a matemática dos teoremas de Green/Stokes brilha da mesma forma!)
O Desafio: Queremos calcular a circulação ( C ) do plasma ao longo da borda da I S C O(90 \mathrm{~km}). A circulação nos diz o quanto o campo “gira” ao longo de um caminho fechado. Então, calcule a circulação do campo de velocidades \mathbf{V}=-y \mathbf{i}+x \mathbf{j} ao longo da circunferência da \operatorname{ISCO}\left(x^{2}+y^{2}=90^{2}\right) de duas formas:
(a) Diretamente pela integral de linha ( O caminho difícil).
(b) Usando o Teorema de Green/Stokes (O caminho inteligente).

Passo 1

O que o problema pede e o que nos dá.
  • O enunciado pede para calcular a circulação C do campo de velocidades \mathbf{V}(x,y)=(-y,x) ao longo da circunferência da ISCO dada por x^{2}+y^{2}=90^{2}.
  • Queremos fazer isso de duas formas:
    (a) diretamente pela integral de linha ao longo da curva (parametrização), e
    (b) usando o Teorema de Green (transformar a integral de linha numa integral dupla sobre o disco).
  • Informação numérica importante: o raio da circunferência é R=90\\ \text{km}.
  • Observação sobre orientação: usaremos a orientação positiva padrão (contra‑horário, isto é, t aumentando de 0 a 2\pi). Isso é importante porque a convenção do Teorema de Green exige essa orientação para ser aplicada diretamente.

Passo 2

Definição da circulação e a parametrização da curva (preparando o cálculo direto).
  • Definição: a circulação de um campo vetorial \mathbf{V}=P(x,y)\,\mathbf{i}+Q(x,y)\,\mathbf{j} ao longo de uma curva fechada \gamma é
C=\oint_{\gamma}\mathbf{V}\cdot d\mathbf{r}.
Aqui d\mathbf{r}=(dx,dy) e o produto escalar é \mathbf{V}\cdot d\mathbf{r}=P\,dx+Q\,dy.
  • Parametrização da circunferência de raio R (contra‑horário):
\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t))=(R\cos t,\,R\sin t),\qquad t\in[0,2\pi].
  • Derivada da parametrização:
\mathbf{r}'(t)=\bigl(x'(t),y'(t)\bigr)=(-R\sin t,\,R\cos t).

Passo 3

Cálculo direto da integral de linha (método “caminho difícil”, mas aqui fica bem simples).
  • Primeiro, escrevo o campo ao longo da parametrização: como \mathbf{V}(x,y)=(-y,x), temos
\mathbf{V}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)=(-R\sin t,\,R\cos t).
  • Compare com \mathbf{r}'(t)=(-R\sin t,\,R\cos t). Observação muito útil: \mathbf{V}(\mathbf{r}(t))=\mathbf{r}'(t) — isto simplifica tudo.
  • O produto escalar no integrando fica
\mathbf{V}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\cdot\mathbf{r}'(t)=(-R\sin t)(-R\sin t)+(R\cos t)(R\cos t)=R^{2}\bigl(\sin^{2}t+\cos^{2}t\bigr)=R^{2}.
  • Portanto a circulação é
C=\int_{0}^{2\pi} R^{2}\,dt=R^{2}\int_{0}^{2\pi}dt=2\pi R^{2}.
(Não fiz substituição numérica ainda; deixei a expressão em função de R.)

Passo 4

Enunciado e explicação do Teorema de Green (preparando o cálculo “inteligente”).
  • Teorema de Green (versão para circulação): para uma região plana D com fronteira simples e orientada positivamente \partial D=\gamma, e para \mathbf{V}=P\,\mathbf{i}+Q\,\mathbf{j} com derivadas parciais contínuas, vale
\oint_{\gamma} P\,dx+Q\,dy=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA.
  • Interpretação: a circulação ao longo da fronteira é igual ao “somatório” (integral dupla) da rotação local \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} em toda a região interior.

Passo 5

Aplicando o Teorema de Green ao nosso problema (método “caminho inteligente”).
  • No nosso caso P(x,y)=-y e Q(x,y)=x. Calculo as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial x}{\partial x}=1,\qquad \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial(-y)}{\partial y}=-1.
  • Logo o integrando é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1-(-1)=2.
  • A circulação é então a integral dupla sobre o disco de raio R:
C=\iint_{D} 2\,dA = 2\cdot \text{Área}(D).Á
  • A área do disco de raio R é \pi R^{2}, então
C=2\cdot \pi R^{2}=2\pi R^{2}.
  • Conclusão intermediária: os dois métodos dão a mesma expressão simbólica C=2\pi R^{2}, como esperado.

Passo 6

Interpretação rápida e unidades (motivação física leve).
  • O campo \mathbf{V}=(-y,x) representa uma rotação sólida uniforme (cada ponto gira com velocidade proporcional à distância ao centro). A circulação dar 2\pi R^{2} expressa que a “quantidade total de rotação” acumulada ao redor da curva cresce como R^{2}.
  • Sobre unidades: se as coordenadas x,y estão em \text{km} e as componentes de \mathbf{V} têm unidades de, por exemplo, \text{km}/\text{s}, então C terá unidades de \text{km}^{2}/\text{s}. Aqui usamos apenas as distâncias dadas ( R=90\\ \text{km} ), então, numericamente, o resultado fica em \text{km}^{2} multiplicado pela unidade temporal implícita do campo.

Resposta

(a) C=2\pi R^{2}=2\pi(90\\ \text{km})^{2}=16200\pi\\ \text{km}^{2}\approx 50\,893,801\\ \text{km}^{2}
(b) C=2\pi R^{2}=2\pi(90\\ \text{km})^{2}=16200\pi\\ \text{km}^{2}\approx 50\,893,801\\ \text{km}^{2}

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