(Desafio!) O disco de acreção de um buraco negro não “encosta” no horizonte de eventos. Ele termina na Órbita Circular Estável Mais Interna (Innermost Stable Circular Orbit - ISCO). Abaixo desse raio, a matéria perde a estabilidade e colapsa mergulhando diretamente em direção à singularidade no buraco negro.
Para um buraco negro de Schwarzschild (esféricamente simétrico, estático), o raio de Schwarzschild (
) é calculado como:
Para
(massas solares), temos que:
- Raio de Schwarzschild
: aproximadamente 30 km .
- ISCO: Para um buraco negro de Schwarzschild, a ISCO fica a
.
Imagine que o gás do disco de acreção é como a água em um ralo, mas um ralo que gira a frações significativas da velocidade da luz. Temos um buraco negro onde o limite interno do disco (a
) está a
. Imagine que o plasma ali gira com um campo de velocidades
.
Para facilitar, vamos assumir um modelo simplificado (do tipo galinha esférica no vácuo!) onde a velocidade do gás perto da borda interna pode ser descrita por um campo vetorial bidimensional:
(Isso representa uma rotação pura e uniforme. Na vida real é mais complexo, mas a matemática dos teoremas de Green/Stokes brilha da mesma forma!)
O Desafio: Queremos calcular a circulação (
) do plasma ao longo da borda da
. A circulação nos diz o quanto o campo “gira” ao longo de um caminho fechado. Então, calcule a circulação do campo de velocidades
ao longo da circunferência da
de duas formas:
(a) Diretamente pela integral de linha ( O caminho difícil).
(b) Usando o Teorema de Green/Stokes (O caminho inteligente).
Para facilitar, vamos assumir um modelo simplificado (do tipo galinha esférica no vácuo!) onde a velocidade do gás perto da borda interna pode ser descrita por um campo vetorial bidimensional:
(a) Diretamente pela integral de linha ( O caminho difícil).
(b) Usando o Teorema de Green/Stokes (O caminho inteligente).
Passo 1
O que o problema pede e o que nos dá.
- O enunciado pede para calcular a circulação
do campo de velocidades ao longo da circunferência da ISCO dada por . - Queremos fazer isso de duas formas:
(a) diretamente pela integral de linha ao longo da curva (parametrização), e
(b) usando o Teorema de Green (transformar a integral de linha numa integral dupla sobre o disco). - Informação numérica importante: o raio da circunferência é
. - Observação sobre orientação: usaremos a orientação positiva padrão (contra‑horário, isto é,
aumentando de a ). Isso é importante porque a convenção do Teorema de Green exige essa orientação para ser aplicada diretamente.
Passo 2
Definição da circulação e a parametrização da curva (preparando o cálculo direto).
- Definição: a circulação de um campo vetorial
ao longo de uma curva fechada é
Aqui
e o produto escalar é
.
- Parametrização da circunferência de raio
(contra‑horário):
- Derivada da parametrização:
Passo 3
Cálculo direto da integral de linha (método “caminho difícil”, mas aqui fica bem simples).
- Primeiro, escrevo o campo ao longo da parametrização: como
, temos
- Compare com
. Observação muito útil: — isto simplifica tudo. - O produto escalar no integrando fica
- Portanto a circulação é
(Não fiz substituição numérica ainda; deixei a expressão em função de
.)
Passo 4
Enunciado e explicação do Teorema de Green (preparando o cálculo “inteligente”).
- Teorema de Green (versão para circulação): para uma região plana
com fronteira simples e orientada positivamente , e para com derivadas parciais contínuas, vale
- Interpretação: a circulação ao longo da fronteira é igual ao “somatório” (integral dupla) da rotação local
em toda a região interior.
Passo 5
Aplicando o Teorema de Green ao nosso problema (método “caminho inteligente”).
- No nosso caso
e . Calculo as derivadas parciais:
- Logo o integrando é
- A circulação é então a integral dupla sobre o disco de raio
:
- A área do disco de raio
é , então
- Conclusão intermediária: os dois métodos dão a mesma expressão simbólica
, como esperado.
Passo 6
Interpretação rápida e unidades (motivação física leve).
- O campo
representa uma rotação sólida uniforme (cada ponto gira com velocidade proporcional à distância ao centro). A circulação dar expressa que a “quantidade total de rotação” acumulada ao redor da curva cresce como . - Sobre unidades: se as coordenadas
estão em e as componentes de têm unidades de, por exemplo, , então terá unidades de . Aqui usamos apenas as distâncias dadas ( ), então, numericamente, o resultado fica em multiplicado pela unidade temporal implícita do campo.
Resposta
(a)
(b)
(b)