Seja
a superfície do paraboloide
com
. Calcule a área de
usando o Teorema de Stokes, escolhendo um campo vetorial
adequado.
Passo 1
O enunciado dá a superfície
que é o paraboloide
com
. Ou seja,
é a porção do gráfico de
sobre o disco do plano
cuja projeção no plano
é o disco
.
O que se pede: calcular a área de .
Informações relevantes fornecidas:
O que se pede: calcular a área de
Informações relevantes fornecidas:
- A superfície
é dada explicitamente por com projeção no plano sendo o disco de raio . - A fronteira
é a curva definida por e (círculo de raio na altura ). - Deve-se usar o Teorema de Stokes, escolhendo um campo vetorial
adequado.
Passo 2
Estratégia e ideia física do uso de Stokes (sem cálculos ainda).
O Teorema de Stokes afirma que, para uma superfície orientada por uma normal e um campo vetorial
suficientemente suave,
O Teorema de Stokes afirma que, para uma superfície orientada por uma normal
Se conseguirmos escolher
tal que
ponto a ponto em
, então a integral de superfície do lado esquerdo será exatamente a área de
, pois
Para trabalhar com mais facilidade é conveniente usar a expressão do elemento vetorial de área via parametrização por
. Para a superfície
a área vetorial orientada é
Assim, se encontrarmos um campo
cujo rotor
satisfaça
então usando a parametrização por
a integral será a área. No caso do nosso paraboloide temos
,
, então
e o módulo (o elemento escalar de área) é
.
Para simplificar a construção, vamos procurar um vetor
que seja radialmente simétrico e tal que
Uma escolha natural é tomar
puramente na direção
, isto é
porque então
. Para que esse produto seja
devemos exigir
Além disso é importante que exista um
tal que
. Uma condição necessária para que um campo
seja rotor de algum
é
. No caso
temos
pois
depende só de
(e não de
), logo
. Então
e, portanto, existe localmente um campo
com
. Assim a escolha
é consistente e nos dá
Pelo Teorema de Stokes teremos então
ou seja, a área de
pode ser obtida calculando a integral de linha de qualquer
cujo rotor seja
ao longo da curva limite
. Agora vamos construir explicitamente um
conveniente e calcular a integral de linha.
Passo 3
Construção explícita de
com
, onde
.
Procuramos um com simetria angular que não dependa de
e cuja componente azimutal seja proporcional à rotação padrão. Uma ansatz conveniente é
Procuramos um
onde
é uma função escalar a determinar (a escolha dos fatores
,
segue a ideia de um campo circular). Vamos calcular a componente
do rotor de
:
Desenvolvendo e lembrando que
depende apenas de
, obtemos
Como
e
, isto dá
Queremos que isto seja
. Assim
deve satisfazer a ODE
Esta é uma equação linear de primeira ordem para
. Reescrevendo:
O fator integrante é
. Multiplicando por
obtemos
Integramos em
:
onde
é constante. Façamos a integral: coloque
, então
e
. Assim
Portanto
Escolhemos a constante
de modo que
seja finita em
. Observe que a expansão de
em
começa por
, então a parte
tem termo constante
. Para eliminar a singularidade
no centro, escolhemos
. Assim
logo
e o limite em
é finito (pode-se usar série ou L’Hôpital para ver que o limite existe), de modo que
é bem definida e suave no disco.
Portanto um campo
que serve é
Por construção
.
Passo 4
Aplicação do Teorema de Stokes e cálculo da integral de linha na fronteira.
Pelo Teorema de Stokes,
Pelo Teorema de Stokes,
A fronteira
é o círculo
dado por
com velocidade
. Sobre
tem-se
, então
é constante ao longo da curva:
Assim no círculo
O produto escalar com
é
Logo a integral de linha é
Substituindo
obtemos