Desafio:
(
ponto) Mostre com um contra exemplo que as matrizes não são comutativas em relação ao produto;
É melhor você tentar algo, vê-lo nāo funcionar e aprender com isso, do que nāo fazer nada. Mark Zuckerberg
É melhor você tentar algo, vê-lo nāo funcionar e aprender com isso, do que nāo fazer nada. Mark Zuckerberg
Passo 1
O enunciado pede: “Mostre com um contraexemplo que as matrizes não são comutativas em relação ao produto.”
Informações relevantes dadas: nenhum dado numérico específico — é preciso construir um exemplo concreto de duas matrizes e
tais que
. O objetivo é exibir duas matrizes e verificar os produtos nas duas ordens, mostrando que são diferentes.
Informações relevantes dadas: nenhum dado numérico específico — é preciso construir um exemplo concreto de duas matrizes
Passo 2
Revisão da definição prática de multiplicação de matrizes (a ferramenta que vamos usar). Seja
uma matriz
e
uma matriz
. O produto
é uma matriz
cujo elemento da linha
e coluna
é
Explicando em palavras: para obter o elemento
do produto, multiplica-se cada entrada da linha
de
pela entrada correspondente da coluna
de
e soma-se tudo. Note que a ordem importa: na soma aparece
(primeiro
, depois
), então trocar a ordem geralmente muda o resultado.
Passo 3
Escolho duas matrizes
simples para checar a comutatividade. Matrizes pequenas facilitam os cálculos na prova. Pegue, por exemplo,
Essas escolhas são úteis porque cada uma tem apenas um elemento não nulo por linha/coluna, o que torna a multiplicação bem direta e fácil de acompanhar.]
Passo 4
Calcular
passo a passo usando a fórmula. Vamos obter cada elemento de
.
Substituindo os valores de
e
:
- Entrada
: . - Entrada
: . - Entrada
: . - Entrada
: .
Portanto
Passo 5
Calcular
passo a passo da mesma forma.
Substituindo os valores:
- Entrada
: . - Entrada
: . - Entrada
: . - Entrada
: .
Logo
Passo 6
Compare os resultados encontrados:
Como
e
são matrizes diferentes (os elementos na diagonal são distintos), concluímos que
. Isso é um contraexemplo explícito que prova que a multiplicação de matrizes, em geral, não é comutativa.
Comentário didático e motivador: a razão intuitiva é que a multiplicação de matrizes combina linhas de uma com colunas da outra; trocar a ordem troca quais linhas são combinadas com quais colunas, então o resultado muda. Em provas, usar um par de matrizes
simples como este é uma forma rápida e segura de dar o contraexemplo. Não desanime — fazer e ver contraexemplos é a melhor maneira de aprender.]
Resposta
Logo
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