Desafio:

( \mathbf{1 , 0} ponto) Mostre com um contra exemplo que as matrizes não são comutativas em relação ao produto;
É melhor você tentar algo, vê-lo nāo funcionar e aprender com isso, do que nāo fazer nada. Mark Zuckerberg

Passo 1

O enunciado pede: “Mostre com um contraexemplo que as matrizes não são comutativas em relação ao produto.”
Informações relevantes dadas: nenhum dado numérico específico — é preciso construir um exemplo concreto de duas matrizes A e B tais que AB \neq BA. O objetivo é exibir duas matrizes e verificar os produtos nas duas ordens, mostrando que são diferentes.

Passo 2

Revisão da definição prática de multiplicação de matrizes (a ferramenta que vamos usar). Seja A uma matriz m\times n e B uma matriz n\times p. O produto AB é uma matriz m\times p cujo elemento da linha i e coluna j é
(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} A_{ik}B_{kj}.
Explicando em palavras: para obter o elemento (i,j) do produto, multiplica-se cada entrada da linha i de A pela entrada correspondente da coluna j de B e soma-se tudo. Note que a ordem importa: na soma aparece A_{ik}B_{kj} (primeiro A, depois B), então trocar a ordem geralmente muda o resultado.

Passo 3

Escolho duas matrizes 2\times2 simples para checar a comutatividade. Matrizes pequenas facilitam os cálculos na prova. Pegue, por exemplo,
A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Essas escolhas são úteis porque cada uma tem apenas um elemento não nulo por linha/coluna, o que torna a multiplicação bem direta e fácil de acompanhar.]

Passo 4

Calcular AB passo a passo usando a fórmula. Vamos obter cada elemento de AB.
AB=\begin{pmatrix} A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21} & A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22}\\[4pt] A_{21}B_{11}+A_{22}B_{21} & A_{21}B_{12}+A_{22}B_{22} \end{pmatrix}.
Substituindo os valores de A e B:
  • Entrada (1,1): 0\cdot0 + 1\cdot1 = 1.
  • Entrada (1,2): 0\cdot0 + 1\cdot0 = 0.
  • Entrada (2,1): 0\cdot0 + 0\cdot1 = 0.
  • Entrada (2,2): 0\cdot0 + 0\cdot0 = 0.
Portanto
AB=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular BA passo a passo da mesma forma.
BA=\begin{pmatrix} B_{11}A_{11}+B_{12}A_{21} & B_{11}A_{12}+B_{12}A_{22}\\[4pt] B_{21}A_{11}+B_{22}A_{21} & B_{21}A_{12}+B_{22}A_{22} \end{pmatrix}.
Substituindo os valores:
  • Entrada (1,1): 0\cdot0 + 0\cdot0 = 0.
  • Entrada (1,2): 0\cdot1 + 0\cdot0 = 0.
  • Entrada (2,1): 1\cdot0 + 0\cdot0 = 0.
  • Entrada (2,2): 1\cdot1 + 0\cdot0 = 1.
Logo
BA=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Compare os resultados encontrados:
AB=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad BA=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Como AB e BA são matrizes diferentes (os elementos na diagonal são distintos), concluímos que AB\neq BA. Isso é um contraexemplo explícito que prova que a multiplicação de matrizes, em geral, não é comutativa.
Comentário didático e motivador: a razão intuitiva é que a multiplicação de matrizes combina linhas de uma com colunas da outra; trocar a ordem troca quais linhas são combinadas com quais colunas, então o resultado muda. Em provas, usar um par de matrizes 2\times2 simples como este é uma forma rápida e segura de dar o contraexemplo. Não desanime — fazer e ver contraexemplos é a melhor maneira de aprender.]

Resposta

A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}
AB=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\qquad BA=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}
Logo AB\neq BA.]

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