( 2,0 pontos) Com a proximidade do final do ano, uma papelaria quis antecipar as promoções de material didático para o ano letivo de 2012. Foram colocados em promoção caneta, caderno e lápis. As três ofertas eram: 1^{\text {a }} ) 1 canetas, 2 cadernos e 3 lápis por \mathrm{R} \ 15,00;
\(2^{\text {a }}\) ) 3 canetas, 5 cadernos e 3 lápis por \(\mathrm{R} \\) 34,00; 3^{\text {a }} ) 2 canetas, 3 cadernos e 7 lápis por \mathrm{R} \ 26,00$.
Para comparar os preços unitários dessa papelaria com outras do comércio, o Sr. Ricardo calculou os preços de uma caneta, um caderno e um lápis. A soma desses preços é:
Passo 1
O enunciado dá três ofertas que relacionam quantidades de canetas, cadernos e lápis com preços totais. Quero deixar claro o que é pedido e quais dados tenho.
Foram colocadas em promoção:
Oferta 1: 1 caneta, 2 cadernos e 3 lápis por \text{R\$ }15{,}00.
Oferta 2: 3 canetas, 5 cadernos e 3 lápis por \text{R\$ }34{,}00.
Oferta 3: 2 canetas, 3 cadernos e 7 lápis por \text{R\$ }26{,}00.
O que o problema pede:
Calcular a soma dos preços unitários de uma caneta, um caderno e um lápis (ou seja, o valor de um caneta + um caderno + um lápis).
Informações relevantes que vamos usar (extraídas do enunciado):
Da Oferta 1 peguei os coeficientes e o preço total \;1,\,2,\,3 e \;15{,}00.
Da Oferta 2 peguei os coeficientes e o preço total \;3,\,5,\,3 e \;34{,}00.
Da Oferta 3 peguei os coeficientes e o preço total \;2,\,3,\,7 e \;26{,}00.
Passo 2
Vou introduzir variáveis para os preços unitários e escrever as equações correspondentes às três ofertas.
Seja \;x o preço de uma caneta (em reais),
seja \;y o preço de um caderno (em reais),
seja \;z o preço de um lápis (em reais).
As três ofertas traduzem-se nas equações:
x + 2y + 3z = 15
3x + 5y + 3z = 34
2x + 3y + 7z = 26
O objetivo é encontrar \;x+y+z.
Passo 3
Vamos eliminar termos para simplificar. Subtraio a primeira equação da segunda para eliminar o termo 3z (que aparece em ambas).
Calcule:
(3x+5y+3z) - (x+2y+3z) = 34 - 15
No lado esquerdo os 3z se cancelam, sobrando:
2x + 3y = 19.
Denoto essa equação por (A):
\text{(A)}\quad 2x + 3y = 19.
Passo 4
Faço o mesmo com a terceira equação: subtraio a primeira da terceira para também eliminar 3z parcialmente.
Calcule:
(2x+3y+7z) - (x+2y+3z) = 26 - 15
No lado esquerdo:
x + y + 4z = 11.
Denoto essa equação por (B):
\text{(B)}\quad x + y + 4z = 11.
Passo 5
Agora vou expressar x em função de y e z a partir da primeira equação, para substituir em (A). Da primeira equação:
x = 15 - 2y - 3z.
Substituo esse x em (A):
2(15 - 2y - 3z) + 3y = 19.
Desenvolvendo:
30 - 4y - 6z + 3y = 19.
Reorganizando os termos:
30 - y - 6z = 19.
Isolando y:
-y - 6z = -11 \quad\Rightarrow\quad y + 6z = 11.
Logo:
y = 11 - 6z.
Passo 6
Com y em função de z, volto à expressão de x:
x = 15 - 2y - 3z = 15 - 2(11 - 6z) - 3z.
Calculo passo a passo:
15 - 22 + 12z - 3z = -7 + 9z.
Portanto:
x = -7 + 9z.
Passo 7
Agora uso a equação (B) — que também veio da diferença entre as ofertas — para encontrar z. A equação (B) é:
x + y + 4z = 11.
Substituo x = -7 + 9z e y = 11 - 6z:
(-7 + 9z) + (11 - 6z) + 4z = 11.
Junto os termos constantes e os termos com z:
(-7 + 11) + (9z - 6z + 4z) = 11.
4 + 7z = 11.
Isolando z:
7z = 7 \quad\Rightarrow\quad z = 1.
Passo 8
Com z = 1 volto às fórmulas para x e y:
Para y: y = 11 - 6z = 11 - 6\cdot 1 = 5.
Para x: x = -7 + 9z = -7 + 9\cdot 1 = 2.
Portanto os preços unitários encontrados são \;x=2 (caneta), \;y=5 (caderno) e \;z=1 (lápis).