Desafio! O objetivo desse problema é calcular a energia eletrostática de uma esfera de raio R uniformemente carregada com carga total Q utilizando dois procedimentos diferentes.
Considere a esfera como uma cebola, formada por diversas cascas de espessura bem pequena (no limite, serão infinitas cascas com espessura infinitesimal cada uma). Calcule, então, o trabalho total das forças eletrostáticas realizado quando a esfera é desfeita levando-se cada casca para o infinito.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a energia eletrostática de uma esfera de raio R e carga total Q uniformemente distribuída. Vamos usar dois procedimentos clássicos de eletrostática:
  1. método das cascas (trabalho para levar cada casca ao infinito)
  2. método da densidade de energia (integração de \tfrac{\varepsilon_0}{2}E^2 em todo o espaço)

Passo 2

No método das cascas tratamos a esfera como uma “cebola” de camadas infinitesimais. A densidade volumétrica de carga é
\rho = \frac{Q}{\tfrac{4}{3}\pi R^3}.
A carga contida em uma esfera de raio r\le R é
q(r)=\rho\;\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{Q\,r^3}{R^3}.
O potencial no raio r devido a essa carga interior é
\varphi(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q(r)}{r}.

Passo 3

A casca de espessura dr e raio r tem carga
dq=\rho\;4\pi r^2\,dr
e o trabalho para levá-la de r a infinito é
dU=\varphi(r)\,dq =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q(r)}{r}\,\bigl(\rho\,4\pi r^2\,dr\bigr).
Substituindo q(r) e \rho obtemos
dU =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q\,r^3/R^3}{r}\,\frac{3Q}{R^3}\,r^2\,dr =\frac{3Q^2}{4\pi\varepsilon_0\,R^6}\;r^4\,dr.
Integramos de r=0 a r=R:
U =\int_{0}^{R}\frac{3Q^2}{4\pi\varepsilon_0\,R^6}\;r^4\,dr =\frac{3Q^2}{4\pi\varepsilon_0\,R^6}\,\frac{R^5}{5} =\frac{3}{5}\,\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q^2}{R}.

Passo 4

No método da densidade de energia usamos
u=\frac{\varepsilon_0}{2}\,E^2
e integramos u sobre todo o espaço. Primeiro precisamos de E(r):
para r\le R,
E_{\rm in}(r) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q(r)}{r^2} =\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{r}{R^3},
para r\ge R,
E_{\rm out}(r) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r^2}.

Passo 5

Calculamos
U =\frac{\varepsilon_0}{2}\Bigl(\!\int_{0}^{R}E_{\rm in}^2\,4\pi r^2\,dr +\int_{R}^{\infty}E_{\rm out}^2\,4\pi r^2\,dr\Bigr).
Fazendo as integrais dá
\frac{\varepsilon_0}{2}\Bigl(\frac{Q^2}{(4\pi\varepsilon_0)^2R^6}\,4\pi\frac{R^5}{5} +\frac{Q^2}{(4\pi\varepsilon_0)^2}\,4\pi\frac{1}{R}\Bigr) =\frac{3}{5}\,\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q^2}{R}.
Os dois métodos coincidem.

Resposta

U=\frac{3}{5}\,\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q^2}{R}.

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