Desafio! O objetivo desse problema é calcular a energia eletrostática de uma esfera de raio
uniformemente carregada com carga total
utilizando dois procedimentos diferentes.
Considere a esfera como uma cebola, formada por diversas cascas de espessura bem pequena (no limite, serão infinitas cascas com espessura infinitesimal cada uma). Calcule, então, o trabalho total das forças eletrostáticas realizado quando a esfera é desfeita levando-se cada casca para o infinito.
Considere a esfera como uma cebola, formada por diversas cascas de espessura bem pequena (no limite, serão infinitas cascas com espessura infinitesimal cada uma). Calcule, então, o trabalho total das forças eletrostáticas realizado quando a esfera é desfeita levando-se cada casca para o infinito.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a energia eletrostática de uma esfera de raio
e carga total
uniformemente distribuída. Vamos usar dois procedimentos clássicos de eletrostática:
- método das cascas (trabalho para levar cada casca ao infinito)
- método da densidade de energia (integração de
em todo o espaço)
Passo 2
No método das cascas tratamos a esfera como uma “cebola” de camadas infinitesimais. A densidade volumétrica de carga é
A carga contida em uma esfera de raio
é
O potencial no raio
devido a essa carga interior é
Passo 3
A casca de espessura
e raio
tem carga
e o trabalho para levá-la de
a infinito é
Substituindo
e
obtemos
Integramos de
a
:
Passo 4
No método da densidade de energia usamos
e integramos
sobre todo o espaço. Primeiro precisamos de
:
para ,
para
para
,
Passo 5
Calculamos
Fazendo as integrais dá
Os dois métodos coincidem.