Desafio! O objetivo desse problema é calcular a energia eletrostática de uma esfera de raio R uniformemente carregada com carga total Q utilizando dois procedimentos diferentes.
Calcule a auto-energia da esfera utilizando a expressão para a energia eletrostática U de uma distribuição contínua qualquer de cargas
U=\frac{1}{2} \int_{\mathcal{R}} \rho(\mathbf{r}) V(\mathbf{r}) d^{3} \mathbf{r}
onde \mathcal{R} é a região onde a densidade volumar de cargas é diferente de zero. Confira o resultado com o do item anterior.

Passo 1

O enunciado pede a energia eletrostática de auto­energia de uma esfera de raio R e carga total Q, usando
U = \frac12 \int_{\mathcal{R}} \rho(\mathbf{r})\,V(\mathbf{r})\,d^3\mathbf{r},
onde \mathcal{R} é o interior da esfera. Vamos precisar da densidade volumétrica uniforme \rho e do potencial V(r) dentro da esfera, e então avaliar a integral de r=0 até r=R.

Passo 2

A densidade volumétrica uniforme é
\rho = \frac{Q}{\tfrac43\pi R^3} = \frac{3Q}{4\pi R^3}.
O potencial no interior de uma esfera uniformemente carregada vale
V(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{2R}\Bigl(3 - \frac{r^2}{R^2}\Bigr), \quad 0 \le r \le R.

Passo 3

Substituindo em
U = \frac12 \int_{0}^{R} \rho\,V(r)\,4\pi r^2\,dr
temos
U = \frac12 \int_{0}^{R} \frac{3Q}{4\pi R^3} \cdot \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{2R} \,(3 - \tfrac{r^2}{R^2}) \,4\pi r^2\,dr.
Agrupando constantes:
U = \frac{3Q^2}{16\pi\varepsilon_0 R^4} \int_{0}^{R}\Bigl(3r^2 - \frac{r^4}{R^2}\Bigr)\,dr.
Calculando a integral:
\int_{0}^{R}\Bigl(3r^2 - \frac{r^4}{R^2}\Bigr)\,dr = \Bigl[r^3 - \tfrac{r^5}{5R^2}\Bigr]_{0}^{R} = R^3 - \frac{R^3}{5} = \frac{4}{5}R^3.
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U = \frac{3Q^2}{16\pi\varepsilon_0 R^4}\cdot \frac{4}{5}R^3 = \frac{3Q^2}{20\pi\varepsilon_0 R} = \frac{3}{5}\,\frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0 R}.

Passo 4

Comparando, esse resultado coincide exatamente com o obtido pelo outro procedimento, também \displaystyle U = \frac{3}{5}\,\frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0 R}.

Resposta

U = \frac{3}{5}\,\frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0 R}.

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