Considere uma configuração formada por três cargas puntiformes, todas elas com carga
, localizadas, inicialmente, nos vértices de um triângulo equilátero de lado
(mesma configuração do enunciado anterior).
(a) Determine o campo elétrico e o potencial eletrostático gerado por esta configuração de cargas no baricentro desta configuração.
(b) Considerando que
, comente sua resposta ao item anterior.
(c) Calcule o trabalho realizado pelo campo elétrico para remover uma das cargas elétricas do vértice deste triângulo até o baricento deste triângulo ultilizando dois procedimentos distintos, a saber:
(i) calculando
, onde
é a variação da energia potencial eletrostática neste processo.
(ii) utilizando a definição de trabalho de uma força
onde
é o campo eletrostático gerado pelas outras duas cargas puntiformes, e efetuando explicitamente a integral de linha ao longo do caminho mais conveniente.
(a) Determine o campo elétrico e o potencial eletrostático gerado por esta configuração de cargas no baricentro desta configuração.
(b) Considerando que
(c) Calcule o trabalho realizado pelo campo elétrico para remover uma das cargas elétricas do vértice deste triângulo até o baricento deste triângulo ultilizando dois procedimentos distintos, a saber:
(i) calculando
(ii) utilizando a definição de trabalho de uma força
Passo 1
Temos três cargas puntiformes iguais
, nos vértices de um triângulo equilátero de lado
. Precisamos achar no baricentro dessa configuração:
– o campo elétrico e o potencial eletrostático
(item a),
– comentar a relação (item b),
– e calcular o trabalho realizado pelo campo ao mover uma carga do vértice até o baricentro por dois métodos (item c).
– o campo elétrico
– comentar a relação
– e calcular o trabalho realizado pelo campo ao mover uma carga do vértice até o baricentro por dois métodos (item c).
Passo 2
Por simetria de um triângulo equilátero, no baricentro todas as contribuições de campo das três cargas se cancelam. Logo
Para o potencial, como ele é escalar e se soma, cada carga está à mesma distância do baricentro, que é
Assim
Passo 3
Como
, se
é constante num ponto isolado a seu redor, então
e, consequentemente,
. Isto confirma a resposta do item (a): potencial não nulo mas gradiente zero.
Passo 4
Para o trabalho usando
, computamos a energia potencial inicial e final.
Energia inicial (três pares a distância
):
Depois de mover uma carga ao baricentro, restam:
– entre as duas cargas fixas: ,
– entre a carga no baricentro e cada vértice: distância , duas interações de energia
.
Logo
– entre as duas cargas fixas:
– entre a carga no baricentro e cada vértice: distância
Logo
Assim
e
Passo 5
Para o trabalho via integral de linha
e aproveitamos que o campo das outras duas cargas é conservativo. Podemos escrever para cada carga fixa, se a distância inicial é
e final
,
No vértice inicial cada distância a uma das duas cargas fixas é
, e no baricentro cada distância é
. Somando as duas contribuições e multiplicando por
, obtemos
coincidindo com o resultado do método anterior.
Resposta
(a)
(b)
Como é estacionário no baricentro,
e por isso
, consistente com (a).
Como
(c)(i)
(c)(ii)
Pelo integral de linha
Pelo integral de linha