• 6 Na descarga de retorno de um relâmpago típico, uma corrente de 2,5 \times 10^{4} \mathrm{~A} é mantida por 20 \mu \mathrm{~s}. Qual é o valor da carga transferida?
    –7 Duas esferas condutoras iguais, mantidas fixas, se atraem mutuamente com uma força eletrostática de 0,108 \mathrm{~N} quando a distância entre os centros é 50,0 \mathrm{~cm}. As esferas são ligadas por um fio condutor de diâmetro desprezível. Quando o fio é removido, as esferas se repelem com uma força de 0,0360 \mathrm{~N}. Supondo que a carga total das esferas era inicialmente positiva, determine: (a) a carga negativa inicial de uma das esferas; (b) a carga positiva inicial da outra esfera.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede em cada item.
Para o problema 6:
  • Dados:
    • Corrente elétrica: I = 2,5\times10^{4}\\ \mathrm{A}.
    • Tempo durante o qual a corrente é mantida: t = 20\\ \mu\mathrm{s}.
  • Pergunta: Qual é a carga elétrica transferida durante esse intervalo de tempo?
Para o problema 7:
  • Dados:
    • Duas esferas condutoras idênticas, fixas, separadas por uma distância entre centros r = 50,0\\ \mathrm{cm} = 0,50\\ \mathrm{m}.
    • Força eletrostática inicial (atração): F_{1} = 0,108\\ \mathrm{N}.
    • As esferas são então ligadas por um fio condutor (carga se redistribui) e, depois que o fio é removido, elas se repelem com força F_{2} = 0,0360\\ \mathrm{N}.
    • Informação importante: a carga total inicial das duas esferas era positiva.
  • Perguntas:
    • (a) Determinar a carga negativa inicial (módulo) de uma das esferas.
    • (b) Determinar a carga positiva inicial da outra esfera.

Passo 2

Resolvendo o problema 6 — ideias principais e fórmula.
  • Definição/conceito: corrente elétrica é a quantidade de carga que passa por um ponto por unidade de tempo. Portanto a carga transferida Q em um intervalo t é dada por
Q = I\,t,
onde
  • Q é a carga em coulombs ( \mathrm{C});
  • I é a corrente em ampères ( \mathrm{A});
  • t é o tempo em segundos ( \mathrm{s}).
  • Atenção com unidades: 1\\ \mu\mathrm{s}=10^{-6}\\ \mathrm{s}.

Passo 3

Cálculo do problema 6, passo a passo.
  • Converter o tempo para segundos:
t = 20\\ \mu\mathrm{s} = 20\times10^{-6}\\ \mathrm{s} = 2,0\times10^{-5}\\ \mathrm{s}.
  • Aplicar Q = I\,t:
Q = \left(2,5\times10^{4}\right)\left(2,0\times10^{-5}\right)\\ \mathrm{C}.
  • Multiplicando:
Q = 2,5\times2,0\times10^{4-5}\\ \mathrm{C} = 5,0\times10^{-1}\\ \mathrm{C} = 0,50\\ \mathrm{C}.
Portanto a carga transferida é \,0,50\\ \mathrm{C}.

Passo 4

Preparação para o problema 7 — entendimento físico e equações relevantes.
  • Conceito 1: Lei de Coulomb para a força elétrica entre duas cargas puntiformes (ou esferas muito separadas e pequenas comparadas à distância):
F = k\,\frac{|q_{a}q_{b}|}{r^{2}},
onde
  • F é o módulo da força elétrica (N);
  • k é a constante eletrostática no vácuo, k \approx 8,99\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}};
  • q_{a}, q_{b} são as cargas (C);
  • r é a distância entre centros (m).
  • Situação física do enunciado:
    • Inicialmente as esferas se atraem com força F_{1}. Logo, as cargas iniciais têm sinais opostos. Denotar as cargas iniciais por q_{+} (positiva) e q_{-} (negativa, portanto q_{-}<0). Vou usar as grandezas positivas Q_{+} = q_{+} e Q_{-} = -q_{-}>0 como módulos das cargas.
    • Depois de ligar as esferas por um fio, sendo esferas idênticas, as cargas se repartem igualmente. Ao separar de novo, cada esfera fica com carga igual à metade da carga total inicial:
q' = \frac{q_{+}+q_{-}}{2}.
Observação: como o enunciado diz que a carga total inicial era positiva, q_{+}+q_{-}>0 e portanto q'>0.
  • A força de repulsão observada após desconectar o fio é
F_{2} = k\,\frac{{q'}^{2}}{r^{2}}.
  • A força inicial de atração tem módulo
F_{1} = k\,\frac{Q_{+}Q_{-}}{r^{2}},
porque Q_{+}Q_{-}=|q_{+}q_{-}|.

Passo 5

Expressar as incógnitas e montar equações numéricas.
  • Do caso após ligação (repulsão): isolar q'\): \[{q'}^{2} = \frac{F_{2}\,r^{2}}{k} \quad\Rightarrow\quad q' = \sqrt{\frac{F_{2}\,r^{2}}{k}}.
  • Do caso inicial (atração): produto das cargas (módulo)
Q_{+}Q_{-} = \frac{F_{1}\,r^{2}}{k}.
  • Identificar que a carga total inicial Q_{\text{tot}} = q_{+}+q_{-} = 2q'.
  • Para facilitar, trabalhar com Q_{+} e Q_{-} ambos positivos (módulos). Temos o sistema:
\begin{cases} Q_{+}-Q_{-} = 2q'\\[4pt] Q_{+}Q_{-} = P, \end{cases}
onde P = \dfrac{F_{1}\,r^{2}}{k}\]. - Esse sistema é equivalente a uma equação quadrática para \(Q_{+}. Eliminando Q_{-} por Q_{-}=P/Q_{+} obtemos:
Q_{+} - \frac{P}{Q_{+}} = 2q' \quad\Rightarrow\quad Q_{+}^{2} - 2q'Q_{+} - P = 0.
  • Resolver a quadrática dará Q_{+}; em seguida Q_{-}=P/Q_{+}.]

Passo 6

Cálculos numéricos (substituindo valores).
  • Primeiro calcule P=\dfrac{F_{1}\,r^{2}}{k}:
r = 0,50\\ \mathrm{m},\qquad F_{1} = 0,108\\ \mathrm{N},\qquad k = 8,99\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}.
Calcule
P = \frac{0,108\times(0,50)^{2}}{8,99\times10^{9}} = \frac{0,108\times0,25}{8,99\times10^{9}} = \frac{0,027}{8,99\times10^{9}}.
Fazendo a divisão:
P \approx 3,00\times10^{-12}\\ \mathrm{C^{2}}.
  • Agora calcule q' = \sqrt{\dfrac{F_{2}\,r^{2}}{k}}:
F_{2} = 0,0360\\ \mathrm{N},
q' = \sqrt{\frac{0,0360\times(0,50)^{2}}{8,99\times10^{9}}} = \sqrt{\frac{0,0360\times0,25}{8,99\times10^{9}}} = \sqrt{\frac{0,009}{8,99\times10^{9}}}.
Fazendo a divisão dentro da raiz e extraindo a raiz:
q' \approx 1,00\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
(mais precisamente q'\approx1,0005\times10^{-6}\\ \mathrm{C}, mas para consistência com os dados usaremos três algarismos significativos.)

Passo 7

Resolver a quadrática para Q_{+} e obter Q_{-}.
  • A equação quadrática é
Q_{+}^{2} - 2q'Q_{+} - P = 0.
A solução positiva relevante é
Q_{+} = q' + \sqrt{{q'}^{2}+P}.
  • Substituindo os valores aproximados:
{q'}^{2}\approx(1,00\times10^{-6})^{2}=1,00\times10^{-12}, \quad P\approx3,00\times10^{-12},
\sqrt{{q'}^{2}+P}\approx\sqrt{4,00\times10^{-12}}\approx2,00\times10^{-6}.
Logo
Q_{+}\approx 1,00\times10^{-6} + 2,00\times10^{-6} = 3,00\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • Então
Q_{-} = \frac{P}{Q_{+}} \approx \frac{3,00\times10^{-12}}{3,00\times10^{-6}} = 1,00\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.

Passo 8

Interpretação final e verificação rápida.
  • Resultado interpreta-se assim:
    • A esfera inicialmente com carga negativa tinha carga de módulo \,1,00\times10^{-6}\\ \mathrm{C} (ou seja, -1,00\\ \mu\mathrm{C}).
    • A outra esfera tinha carga positiva \,3,00\times10^{-6}\\ \mathrm{C} (ou seja, +3,00\\ \mu\mathrm{C}).
  • Verificação rápida:
    • Produto Q_{+}Q_{-}\approx(3,00\times10^{-6})(1,00\times10^{-6})=3,00\times10^{-12}\\ \mathrm{C^{2}}, que gera F_{1} conforme a lei de Coulomb — consistente com o valor dado.
    • Carga total inicial Q_{+}-Q_{-}=2,00\times10^{-6}\\ \mathrm{C}, portanto cada esfera ficou com q' \approx 1,00\times10^{-6}\\ \mathrm{C} após igualização, o que gera a força F_{2} dada — consistente.

Resposta

  1. Q = 0,50\\ \mathrm{C}.
7a) Carga negativa inicial: -1,00\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
7b) Carga positiva inicial: +3,00\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.

Exercícios relacionados