Uma partícula elementar de massa m e carga positiva q entra num campo elétrico uniforme com uma velocidade \mathrm{v}_{0} que forma um ângulo \theta com o sentido positivo do vetor E . Considere o vetor E orientado no sentido do eixo O y. Determine: (a) x em funçio de t, (b) y em função de t.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei todas as informações do enunciado):
  • Uma partícula de massa \,m, e carga positiva \,q, entra em um campo elétrico uniforme \vec{E}.
  • O vetor \vec{E} está orientado no sentido do eixo Oy (ou seja, direção positiva de y).
  • A velocidade inicial da partícula tem módulo \,v_0, e forma um ângulo \theta com o sentido positivo de \vec{E} (portanto com o eixo +y).
  • Pede-se: (a) x em função de t; (b) y em função de t.
Assumo, naturalmente (padrão em problemas deste tipo), que no instante inicial t=0 a partícula passa pela origem: x(0)=0 e y(0)=0. Se a condição inicial for diferente, basta somar as posições iniciais às respostas que iremos obter.

Passo 2

Escolha de eixos e decomposição da velocidade inicial (a parte trigonométrica):
  • Como o eixo y é a direção de \vec{E}, o ângulo \theta é medido a partir do eixo +y.
  • Decompondo \vec{v}_0 em componentes ortogonais x e y: v_{0y}=v_0\cos\theta,\qquad v_{0x}=v_0\sin\theta.Explicação: a componente ao longo de y é o cateto adjacente ao ângulo \theta, por isso \cos; a componente ao longo de x é o cateto oposto, por isso \sin. Estou escolhendo o sentido positivo de x tal que v_{0x}=v_0\sin\theta seja positivo (se a partícula viesse para a esquerda, o sinal seria negativo).

Passo 3

Força e aceleração (usar a 2ª lei de Newton):
  • A força elétrica sobre a partícula é \vec{F}=q\vec{E}.
  • Como \vec{E} está ao longo de +y e q>0, a força está ao longo de +y.
  • Pela 2ª lei de Newton: m\vec{a}=\vec{F}=q\vec{E}\quad\Rightarrow\quad \vec{a}=\frac{q\vec{E}}{m}.
  • Em componentes: a_x=0,\qquad a_y=\frac{qE}{m},porque não há componente de \vec{E} em x.
Comentário útil: a aceleração em x é nula (movimento retilíneo uniforme em x), enquanto em y há aceleração constante igual a \dfrac{qE}{m}.

Passo 4

Movimento na direção x (integração da aceleração nula):
  • Como a_x=0, a velocidade na direção x é constante: v_x(t)=v_{0x}=v_0\sin\theta.
  • Integrando a velocidade para obter a posição (usando x(0)=0): x(t)=\int_0^t v_x(t')\,dt'=\int_0^t v_0\sin\theta\,dt' = v_0\sin\theta\;t.
  • Interpretação prática: em x a partícula desloca-se com velocidade constante \,v_0\sin\theta.

Passo 5

Movimento na direção y (aceleração constante):
  • Aceleração constante em y: a_y=\dfrac{qE}{m}.
  • Primeiro integramos para obter a velocidade em y. Com v_y(0)=v_{0y}=v_0\cos\theta: v_y(t)=v_{0y}+a_y t = v_0\cos\theta + \frac{qE}{m}\,t.
  • Agora integramos a velocidade para obter a posição y(t). Com y(0)=0: y(t)=\int_0^t v_y(t')\,dt'=\int_0^t\!\left(v_0\cos\theta + \frac{qE}{m}t'\right)dt'
= v_0\cos\theta\;t + \frac{qE}{m}\cdot\frac{t^2}{2}.
  • Portanto: y(t)=v_0\cos\theta\;t + \frac{1}{2}\,\frac{qE}{m}\,t^2.
Explicação das fórmulas usadas: para aceleração constante \,a, vale sempre \,v(t)=v_0+a t e \,s(t)=s_0+v_0 t + \tfrac12 a t^2. Aqui aplicamos essas relações componente a componente.

Passo 6

Observações finais e casos especiais (para ganhar intuição):
  • Se q fosse negativa, então a_y=\dfrac{qE}{m} seria negativa e a partícula aceleraria no sentido contrário de \vec{E}.
  • Se \theta=0 (velocidade inicial paralela a \vec{E}), então x(t)=0 e y(t)=v_0 t + \tfrac12(qE/m)t^2 (apenas movimento acelerado em y).
  • Se \theta=\tfrac{\pi}{2} (velocidade inicial perpendicular a \vec{E}), então y(t)=\tfrac12(qE/m)t^2 e x(t)=v_0 t: movimento retilíneo uniforme em x e aceleração pura em y.

Resposta

x(t)=v_0\sin\theta\;t
y(t)=v_0\cos\theta\;t+\dfrac{1}{2}\dfrac{qE}{m}\,t^2

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