Descreva algebricamente a região D \subset \mathbb{R}^{2} que satisfaz 9 x^{2}+4 y-18 x-27=0.
1.1) Como regiāo do tipo I

Passo 1

O enunciado dá a equação
9x^{2}+4y-18x-27=0
e pede para descrever algebricamente a região D\subset\mathbb{R}^2 que a satisfaz, especificamente “como região do tipo I”.
Informações relevantes:
  • Temos uma única equação em x e y.
  • A tarefa é escrever D na forma típica de uma região do tipo I (isto é, descrevendo intervalos para x e limites para y em função de x).

Passo 2

O que significa “região do tipo I”? Uma região do tipo I é, por definição,
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid a\le x\le b,\; g_1(x)\le y\le g_2(x)\},
onde g_1 e g_2 são funções de x. No caso de uma curva dada por uma única igualdade y=f(x), podemos interpretá-la como o caso degenerado com g_1(x)=g_2(x)=f(x).
Portanto, o passo natural é isolar y na equação dada. Começando de
9x^{2}+4y-18x-27=0,
subtraímos os termos que não têm y e isolamos 4y:
4y = -9x^{2}+18x+27.
Dividindo por 4 obtemos
y = -\frac{9}{4}x^{2}+\frac{18}{4}x+\frac{27}{4}.
Simplificando a fração \tfrac{18}{4}=\tfrac{9}{2}, podemos escrever
y = -\frac{9}{4}x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{27}{4}.

Passo 3

É útil reescrever a quadrática em x completando o quadrado para ver a forma canônica (isso ajuda a entender a curva). Fatoramos -\dfrac{9}{4} dos termos em x:
y = -\frac{9}{4}\bigl(x^{2}-2x\bigr)+\frac{27}{4}.
Agora completamos o quadrado dentro do parêntese: x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1. Substituindo:
y = -\frac{9}{4}\bigl((x-1)^{2}-1\bigr)+\frac{27}{4}.
Distribuindo:
y = -\frac{9}{4}(x-1)^{2}+\frac{9}{4}+\frac{27}{4}.
Somando os termos constantes \tfrac{9}{4}+\tfrac{27}{4}=\tfrac{36}{4}=9, obtemos a forma mais simples
y = 9 - \frac{9}{4}(x-1)^{2}.
Essa é a expressão explícita de y em função de x. A curva é uma parábola com vértice em (1,9) que abre para baixo; mas, para a descrição do tipo I, o ponto essencial é que para cada x\in\mathbb{R} existe exatamente um y dado por essa fórmula.

Passo 4

Agora escrevemos D como região do tipo I. Como a curva é definida para todo x\in\mathbb{R} e para cada x o único y possível é y=9-\dfrac{9}{4}(x-1)^{2}, podemos tomar a=-\infty e b=+\infty e definir g_1(x)=g_2(x)=9-\dfrac{9}{4}(x-1)^{2}. Assim
D=\bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid -\infty<x<+\infty,\; 9-\tfrac{9}{4}(x-1)^{2}\le y\le 9-\tfrac{9}{4}(x-1)^{2}\bigr\},
que é o modo formal (tipo I) de representar a curva.

Resposta

D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\in\mathbb{R},\; y=9-\dfrac{9}{4}(x-1)^{2}\}

Exercícios relacionados