Descreva algebricamente a região
que satisfaz
.
1.1) Como regiāo do tipo I
1.1) Como regiāo do tipo I
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para descrever algebricamente a região
que a satisfaz, especificamente “como região do tipo I”.
Informações relevantes:
- Temos uma única equação em
e . - A tarefa é escrever
na forma típica de uma região do tipo I (isto é, descrevendo intervalos para e limites para em função de ).
Passo 2
O que significa “região do tipo I”? Uma região do tipo I é, por definição,
onde
e
são funções de
. No caso de uma curva dada por uma única igualdade
, podemos interpretá-la como o caso degenerado com
.
Portanto, o passo natural é isolar
na equação dada. Começando de
subtraímos os termos que não têm
e isolamos
:
Dividindo por
obtemos
Simplificando a fração
, podemos escrever
Passo 3
É útil reescrever a quadrática em
completando o quadrado para ver a forma canônica (isso ajuda a entender a curva). Fatoramos
dos termos em
:
Agora completamos o quadrado dentro do parêntese:
. Substituindo:
Distribuindo:
Somando os termos constantes
, obtemos a forma mais simples
Essa é a expressão explícita de
em função de
. A curva é uma parábola com vértice em
que abre para baixo; mas, para a descrição do tipo I, o ponto essencial é que para cada
existe exatamente um
dado por essa fórmula.
Passo 4
Agora escrevemos
como região do tipo I. Como a curva é definida para todo
e para cada
o único
possível é
, podemos tomar
e
e definir
. Assim
que é o modo formal (tipo I) de representar a curva.