(UNIFESP) - Uma pessoa resolveu fazer sua caminhada matinal passando a percorrer, a cada dia, 100 metros mais do que no dia anterior. Ao completar o
dia de caminhada, observou ter percorrido, nesse dia, 6000 metros. A distância total percorrida nos 21 dias foi de:
a) 125500 m
b) 105000 m
c) 90000 m
d) 87500 m
e) 80000 m
a) 125500 m
b) 105000 m
c) 90000 m
d) 87500 m
e) 80000 m
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede, sem resolver nada ainda.
- A cada dia a pessoa percorre
metros a mais do que no dia anterior. - No
dia ela percorreu metros (ou seja, o termo do dia vale ). - O enunciado pede a distância total percorrida nos
dias (soma de todas as distâncias dos dias a ).
Esses são os dados relevantes: incremento diário
, termo do dia
é
, quantidade de termos
. Agora vamos resolver passo a passo.
Passo 2
Escolhendo um modelo e escrevendo a fórmula que vamos usar (explicando bem cada símbolo).
É natural modelar as distâncias dia a dia por uma sequência onde cada termo aumenta sempre a mesma quantidade: isso significa que o termo geral pode ser escrito como
onde:
-
é a distância percorrida no -ésimo dia; -
é a distância do primeiro dia (o que queremos encontrar inicialmente); -
é a diferença comum entre dias (aumenta m por dia); -
é o número do dia.
Também a soma dos primeiros
termos dessa sequência é dada por
onde
é a soma das distâncias dos
primeiros dias. Vou usar essas duas fórmulas; explico rapidamente de onde vem a fórmula da soma: ao somar o primeiro com o último, o segundo com o penúltimo, etc., cada par dá sempre o mesmo valor
; há
pares (se
ímpar, a fórmula continua válida porque o termo do meio soma consigo mesmo corretamente).
Passo 3
Identificar os símbolos com os dados do problema e encontrar
.
Do enunciado temos:
-
(metros), -
(metros), -
.
Use a fórmula do termo geral para
:
Substituindo
e
,
Calcule
:
Logo
Portanto a distância do primeiro dia é
metros. (Respira — é só organizar números.)
Passo 4
Agora calculamos a soma total
usando a fórmula da soma.
Temos
,
e
. Então
Some
:
Passo 5
Finalizar a conta da soma passo a passo sem pular etapas.
Substituindo na fórmula:
Calcule
de maneira simples: primeiro
, então
Agora
. Logo a distância total percorrida em
dias é
metros.
Resposta
b)