(UNIFESP) - Uma pessoa resolveu fazer sua caminhada matinal passando a percorrer, a cada dia, 100 metros mais do que no dia anterior. Ao completar o 21^{\circ} dia de caminhada, observou ter percorrido, nesse dia, 6000 metros. A distância total percorrida nos 21 dias foi de:
a) 125500 m
b) 105000 m
c) 90000 m
d) 87500 m
e) 80000 m

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede, sem resolver nada ainda.
  • A cada dia a pessoa percorre 100 metros a mais do que no dia anterior.
  • No 21^{\circ} dia ela percorreu 6000 metros (ou seja, o termo do dia 21 vale 6000).
  • O enunciado pede a distância total percorrida nos 21 dias (soma de todas as distâncias dos dias 1 a 21).
Esses são os dados relevantes: incremento diário 100, termo do dia 21 é 6000, quantidade de termos 21. Agora vamos resolver passo a passo.

Passo 2

Escolhendo um modelo e escrevendo a fórmula que vamos usar (explicando bem cada símbolo).
É natural modelar as distâncias dia a dia por uma sequência onde cada termo aumenta sempre a mesma quantidade: isso significa que o termo geral pode ser escrito como
a_n = a_1 + (n-1)d,
onde:
  • a_n é a distância percorrida no n-ésimo dia;
  • a_1 é a distância do primeiro dia (o que queremos encontrar inicialmente);
  • d é a diferença comum entre dias (aumenta 100 m por dia);
  • n é o número do dia.
Também a soma dos primeiros n termos dessa sequência é dada por
S_n = \frac{n}{2}\,(a_1+a_n),
onde S_n é a soma das distâncias dos n primeiros dias. Vou usar essas duas fórmulas; explico rapidamente de onde vem a fórmula da soma: ao somar o primeiro com o último, o segundo com o penúltimo, etc., cada par dá sempre o mesmo valor a_1+a_n; há n/2 pares (se n ímpar, a fórmula continua válida porque o termo do meio soma consigo mesmo corretamente).

Passo 3

Identificar os símbolos com os dados do problema e encontrar a_1.
Do enunciado temos:
  • d = 100 (metros),
  • a_{21} = 6000 (metros),
  • n = 21.
Use a fórmula do termo geral para n=21:
a_{21} = a_1 + (21-1)d.
Substituindo a_{21}=6000 e d=100,
6000 = a_1 + 20\cdot 100.
Calcule 20\cdot 100:
20\cdot 100 = 2000.
Logo
6000 = a_1 + 2000 \quad\Rightarrow\quad a_1 = 6000 - 2000 = 4000.
Portanto a distância do primeiro dia é a_1 = 4000 metros. (Respira — é só organizar números.)

Passo 4

Agora calculamos a soma total S_{21} usando a fórmula da soma.
Temos n=21, a_1=4000 e a_{21}=6000. Então
S_{21} = \frac{21}{2}\,(a_1+a_{21}).
Some a_1+a_{21}:
a_1+a_{21} = 4000 + 6000 = 10000.

Passo 5

Finalizar a conta da soma passo a passo sem pular etapas.
Substituindo na fórmula:
S_{21} = \frac{21}{2}\cdot 10000.
Calcule \frac{21}{2}\cdot 10000 de maneira simples: primeiro \frac{10000}{2}=5000, então
S_{21} = 21\cdot 5000.
Agora 21\cdot 5000 = 21\cdot 5{,}000 = 105000. Logo a distância total percorrida em 21 dias é 105000 metros.

Resposta

b) 105000\\ \text{m}

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