\int \frac{2}{2 x^{2}+10 x+17} d x

Passo 1

O que o problema pede e o que nos dá:
  • Pede calcular a integral indefinida \displaystyle \int \frac{2}{2 x^{2}+10 x+17}\,dx.
  • Informação dada: o integrando é uma função racional com um denominador quadrático 2x^{2}+10x+17.
  • Objetivo: encontrar uma primitiva explícita (uma antiderivada) e escrever a constante de integração C.

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar a expressão para ficar mais fácil completar o quadrado.
Dividir numerador e denominador por 2:
\frac{2}{2x^{2}+10x+17}=\frac{1}{x^{2}+5x+\tfrac{17}{2}}.
Portanto a integral vira
\int \frac{2}{2 x^{2}+10 x+17}\,dx = \int \frac{1}{x^{2}+5x+\tfrac{17}{2}}\,dx.

Passo 3

Agora vamos completar o quadrado no denominador. Lembrete de técnica: para x^{2}+b x pode-se escrever
x^{2}+b x=\Big(x+\tfrac{b}{2}\Big)^{2}-\Big(\tfrac{b}{2}\Big)^{2}.
Aqui b=5. Aplicando:
x^{2}+5x+\tfrac{17}{2}=\Big(x+\tfrac{5}{2}\Big)^{2}-\Big(\tfrac{5}{2}\Big)^{2}+\tfrac{17}{2}.
Calculemos os números:
\Big(\tfrac{5}{2}\Big)^{2}=\tfrac{25}{4},\qquad \tfrac{17}{2}=\tfrac{34}{4}.
Então
-\tfrac{25}{4}+\tfrac{34}{4}=\tfrac{9}{4}.
Logo
x^{2}+5x+\tfrac{17}{2}=\Big(x+\tfrac{5}{2}\Big)^{2}+\tfrac{9}{4}.

Passo 4

Substituímos o denominador completado na integral:
\int \frac{1}{x^{2}+5x+\tfrac{17}{2}}\,dx=\int \frac{1}{\big(x+\tfrac{5}{2}\big)^{2}+\big(\tfrac{3}{2}\big)^{2}}\,dx.
Agora fazemos a mudança de variável simples u=x+\tfrac{5}{2}. Então du=dx. A integral fica
\int \frac{1}{u^{2}+\big(\tfrac{3}{2}\big)^{2}}\,du.

Passo 5

Usamos a fórmula padrão para integrar uma soma de quadrados:
\text{Para }a>0,\qquad \int \frac{1}{u^{2}+a^{2}}\,du=\frac{1}{a}\arctan\!\Big(\frac{u}{a}\Big)+C.
Aqui a=\tfrac{3}{2}. Aplicando,
\int \frac{1}{u^{2}+\big(\tfrac{3}{2}\big)^{2}}\,du=\frac{1}{\tfrac{3}{2}}\arctan\!\Big(\frac{u}{\tfrac{3}{2}}\Big)+C=\frac{2}{3}\arctan\!\Big(\frac{u}{\tfrac{3}{2}}\Big)+C.

Passo 6

Voltando à variável x usando u=x+\tfrac{5}{2}:
\frac{2}{3}\arctan\!\Big(\frac{x+\tfrac{5}{2}}{\tfrac{3}{2}}\Big)+C.
Simplificando a fração dentro do \arctan:
\frac{x+\tfrac{5}{2}}{\tfrac{3}{2}}=\frac{2x+5}{3}.
Assim a primitiva final é
\frac{2}{3}\arctan\!\Big(\frac{2x+5}{3}\Big)+C.

Passo 7

Checagem rápida (opcional mas útil): derivando \dfrac{2}{3}\arctan\!\big(\dfrac{2x+5}{3}\big) obtém-se exatamente \dfrac{2}{2x^{2}+10x+17}, confirmando que está correto. Excelente — já pode copiar isso na prova com confiança!

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}\arctan\!\Big(\frac{2x+5}{3}\Big)+C

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