Passo 1
O que o problema pede e o que nos dá:
- Pede calcular a integral indefinida
. - Informação dada: o integrando é uma função racional com um denominador quadrático
. - Objetivo: encontrar uma primitiva explícita (uma antiderivada) e escrever a constante de integração
.
Passo 2
Primeiro passo prático: simplificar a expressão para ficar mais fácil completar o quadrado.
Dividir numerador e denominador por
:
Portanto a integral vira
Passo 3
Agora vamos completar o quadrado no denominador. Lembrete de técnica: para
pode-se escrever
Aqui
. Aplicando:
Calculemos os números:
Então
Logo
Passo 4
Substituímos o denominador completado na integral:
Agora fazemos a mudança de variável simples
. Então
. A integral fica
Passo 5
Usamos a fórmula padrão para integrar uma soma de quadrados:
Aqui
. Aplicando,
Passo 6
Voltando à variável
usando
:
Simplificando a fração dentro do
:
Assim a primitiva final é
Passo 7
Checagem rápida (opcional mas útil): derivando
obtém-se exatamente
, confirmando que está correto. Excelente — já pode copiar isso na prova com confiança!