- Explique como usar a função de transferência e a integral de convolução para encontrar a resposta de um circuito elétrico. Ilustre o conceito enunciando um exemplo (não precisa calcular). (Valor 1,0)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) explicar como usar a função de transferência e a integral de convolução para encontrar a resposta de um circuito elétrico; (ii) ilustrar o conceito com um exemplo (sem precisar calcular resultados numéricos).
Informações implícitas que vou usar (não pedidas, porém necessárias):
Informações implícitas que vou usar (não pedidas, porém necessárias):
- o circuito é tratado como um sistema linear e invariante no tempo (LTI);
- há um sinal de entrada
e uma resposta de saída ; - vou trabalhar com transformada de Laplace (variável complexa
) e com a convolução temporal.
Passo 2
Conceitos fundamentais — o que é cada coisa e por que importa:
- Impulso unitário:
é o sinal “minitrator” que excita o sistema instantaneamente. - Impulso-resposta:
é a resposta do circuito quando a entrada é . Ela resume totalmente o comportamento de um sistema LTI. - Função de transferência:
é a transformada de Laplace da função impulso-resposta:
Ela transforma o problema diferencial em álgebra (muito mais simples de manipular).
- Propriedade chave (convolução ⇄ multiplicação): para sinais LTI vale
e, em Laplace,
Isto significa: convoluir no tempo = multiplicar no domínio
.
Passo 3
Como proceder passo a passo (modo “fazer na prova”) — método com transformada de Laplace:
- Modelar o circuito e escrever a equação diferencial que relaciona entrada e saída (por exemplo pela lei de Kirchhoff ou por impedâncias).
- Assumir condições iniciais nulas (se a prova pedir resposta ao regime livre, tratar IC separadamente). Aplicar transformada de Laplace às equações diferenciais; derivadas viram polinômios em
. - Isolar
em função de e identificar a função de transferência:
Aqui
é a variável complexa da transformada de Laplace (geralmente
).
4) Para obter a saída temporal há duas escolhas equivalentes:
4) Para obter a saída temporal
- Multiplicar e inverter: calcular
e depois aplicar a transformada inversa . Na prática isso exige decomposição em frações parciais e uso de uma tabela de transformadas. - Convoluir no tempo: obter
e então calcular
quando o sistema for causal (integral de
a
). Esta alternativa costuma ser mais direta se
e
são funções simples (exponenciais, degraus, senos).
5) Verificações importantes: estabilidade e causalidade. Se todos os polos de têm parte real negativa o sistema é estável; causalidade geralmente implica
para
.
5) Verificações importantes: estabilidade e causalidade. Se todos os polos de
Passo 4
Dicas práticas para fazer as contas sem perder tempo:
- Preferir o domínio
(multiplicação) sempre que e sejam fáceis de obter; usar convolução no tempo se e forem muito simples. - Para inverter
: fatorar o denominador, usar frações parciais e uma tabela de transformadas padrão (polos simples → exponenciais; polos complexos → exponencial vezes seno/cosseno). - Se houver condições iniciais não nulas, incluí-las na transformada (ter cuidado ao escrever as transformadas de derivadas).
- Sempre anotar unidades e constantes físicas (por ex.,
, , ) dentro de — isso ajuda a identificar termos do tempo (constante de tempo , frequência natural, etc.).
Passo 5
Ilustração com um exemplo (apenas enunciado do exemplo, sem cálculos):
- Circuito: passa-baixa RC simples — resistor
em série com capacitor , entrada na série e saída nos terminais do capacitor. - Modelo: escrever a equação
ou a relação em tensão/resistência/impedância. - Função de transferência (obtida por impedâncias e transformada de Laplace): tipicamente
- Interpretação:
diz como as diferentes componentes em frequência/decaimento são atenuadas; a resposta no tempo é a transformada inversa de e, convoluindo com ou multiplicando por e voltando ao tempo, obtém-se . Não farei aqui a transformação inversa nem a convolução — isso seria o cálculo concreto da resposta.
Passo 6
Resumo didático e motivacional: em provas pequenas faça sempre o seguinte checklist rápido: (a) é LTI? (b) escrevi a equação e fiz Laplace? (c) calculei
? (d) multipliquei por
e inverti, ou calculei
e usei convolução? Seguindo esses passos você converte problemas diferenciais chatos em operações algébricas e integrais conhecidas — e lembra: respirar fundo ajuda na hora de decompor frações parciais. Boa sorte que dá pra resolver!
Resposta
Usar a função de transferência
e a propriedade
para calcular
e então aplicar
ou, alternativamente, obter
e calcular a saída por convolução
Exemplo: circuito RC passa-baixas com
onde então se encontra
por multiplicação em
seguida de inversa ou por convolução com
.