Descreva o Campo Magnético, a partir da corrente elétrica.

Passo 1

O enunciado pede para descrever como uma corrente elétrica gera um campo magnético. O conteúdo aqui é magnetostática: temos de usar a Lei de Biot–Savart para determinar o campo produzido por um elemento de corrente e a Lei de Ampère (circuital) para relacionar o campo magnético com correntes encerradas por um caminho fechado.

Passo 2

Qualitativamente, uma corrente elétrica I produz ao seu redor linhas de campo magnético que formam circuitos fechados. A direção do vetor campo \mathbf{B} segue a regra da mão direita: se o polegar aponta na direção da corrente, os dedos indicam o sentido de \mathbf{B}. Em termos de densidade de corrente, usaremos o vetor \mathbf{J}, que satisfaz I=\int_S\mathbf{J}\cdot d\mathbf{S}.

Passo 3

A Lei de Biot–Savart diferencial afirma que um elemento de corrente I\,d\boldsymbol{\ell} localizado em \mathbf{r}' gera, no ponto de observação \mathbf{r}, um contribution
d\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{I\,d\boldsymbol{\ell}\times(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{\lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}'\rvert^{3}},
onde \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo. Para um fio de geometria arbitrária, integra-se sobre todo o trajeto do fio:
\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_{0} I}{4\pi}\int_{\text{fio}} \frac{d\boldsymbol{\ell}'\times(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{\lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}'\rvert^{3}}.

Passo 4

A Lei de Ampère (forma integral) fornece uma alternativa, relacionando a circulação de \mathbf{B} num caminho fechado C com a corrente total I_{\text{enc}} que atravessa uma superfície limitada por C:
\oint_{C}\mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} = \mu_{0}\,I_{\text{enc}}.
Na forma diferencial, isso vira a equação de Maxwell–Ampère sem deslocamento elétrico estático:
\nabla\times\mathbf{B}=\mu_{0}\,\mathbf{J}.

Passo 5

Como aplicação típica, para um fio retilíneo infinito que carrega corrente I, simetria cilíndrica e Ampère em um círculo de raio \rho dão
B(\rho) =\frac{\mu_{0}I}{2\pi\rho},
no sentido azimutal \hat{\boldsymbol\varphi}.

Resposta

O campo magnético gerado por uma corrente elétrica é dado pela Lei de Biot–Savart
\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_{0}I}{4\pi}\int \frac{d\boldsymbol{\ell}'\times(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{\lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}'\rvert^{3}},
ou alternativamente pela Lei de Ampère
\oint_{C}\mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} = \mu_{0}\,I_{\text{enc}} \quad\Longleftrightarrow\quad \nabla\times\mathbf{B}=\mu_{0}\,\mathbf{J}.
Em casos de alta simetria, como fio retilíneo infinito, isso resulta em
B(\rho)=\frac{\mu_{0}I}{2\pi\rho}\,\hat{\boldsymbol\varphi}.

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