Descreva como os coeficientes fenomenológicos das equações de transporte em membrana podem ser escritos em termos de coeficientes de resistência K como
Fs & =Ks Js+Ks w Jw Fw & =Kw s Js+Kw Jw
e obtenha expressões para os coeficientes Ks, Ks w, Kw s e Kw.

Passo 1

Beleza, o enunciado manda a gente mostrar como os coeficientes fenomenológicos
Fs=Ks,Js+Ksw,Jw, Fw=Kws,Js+Kw,Jw
podem ser escritos em função dos coeficientes de resistência (dos quais cada camada — banho de alimentação, membrana e banho de permeado — contribui).
Conteúdo envolvido: termodinâmica fora do equilíbrio (relação linear fluxo-força), somar resistências em série e inverter uma matriz . Vamos precisar:
  • Montar a matriz de resistências de cada camada;
  • Somar essas matrizes (resistências em série);
  • Inverter a matriz total para achar a matriz de condutâncias .

Passo 2

Definimos para cada camada R^(1)= dfrac1Ks,1 & 0[1em] 0 & dfrac1Kw,1 (1=banho-alimentação, 2=membrana, 3=banho-permeado) a matriz de resistência R^(2)= dfrac1Ks,2 & -dfrac1Kc[0.8em] -dfrac1Kc & dfrac1Kw,2 :
  1. Banho de alimentação (só difusão simples, sem acoplamento):
R^(3)= dfrac1Ks,3 & 0[1em] 0 & dfrac1Kw,3
  1. Membrana (aqui aparece o acoplamento soluto–solvente, definido por uma resistência cruzada ):
  1. Banho de permeado (de novo só difusão simples):

Passo 3

Como as camadas estão em série, a resistência total é
Rrm tot=R^(1)+R^(2)+R^(3) = R11&R12 R21&R22
onde
R11=sumi=1^31Ks,i , R22=sumi=1^31Kw,i , R12=R21=-1Kc,

Passo 4

Para extrair os condutâncias fenomenológicas Krm tot=Rrm tot^-1 =1De a gente inverte Krm tot= Ks & Ksw[0.4em] Kws& Kw , :
Ks=R22De
Comparando com
vemos que

Resposta

Em função das resistências parciais R11 =sumi=1^31Ks,i ,, R22 =sumi=1^31Kw,i ,, R12=R21=-1Kc, e do acoplamento De temos
boxed Ks&=R22R11R22-l(1/Kcr)^2, Ksw&=1/Kc,R11R22-l(1/Kcr)^2,, Kws&=Ksw, Kw&=R11R11R22-l(1/Kcr)^2

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