Descreva completamente o estado de polarização das ondas abaixo. Considere E_{0} real.
a) \mathbf{E}=\hat{\mathbf{x}} E_{0} \cos (\beta z-\omega t)+\hat{\mathbf{y}} E_{0} \sin (\beta z-\omega t);
b) \mathbf{E}=\left(\hat{\mathbf{x}} E_{0}-j \hat{\mathbf{y}} E_{0}\right) \exp j(\beta z-\omega t);
c) \mathbf{E}=\left(\hat{\mathbf{x}} E_{0}-\hat{\mathbf{y}} E_{0}\right) \exp j(\beta z-\omega t);
d) \mathbf{E}=\hat{\mathbf{x}} E_{0} \cos (\beta z-\omega t)-\hat{\mathbf{y}} 2 E_{0} \sin (\beta z-\omega t).

Passo 1

O enunciado pede para caracterizar completamente o estado de polarização de quatro ondas eletromagnéticas que se propagam na direção +z. Para isso vamos extrair para cada caso as componentes E_x e E_y, seus módulos e diferenças de fase, e daí decidir se a polarização é linear, circular ou elíptica, além de determinar a orientação do eixo principal e o sentido de rotação.

Passo 2

Uma forma sistemática é:
  1. Identificar em cada caso as amplitudes A_x e A_y e as fases \phi_x, \phi_y de E_x e E_y.
  2. Calcular a diferença de fase \Delta\varphi=\phi_y-\phi_x.
  3. Se |A_x|=|A_y| e \Delta\varphi=\pm\pi/2, é polarização circular; se \Delta\varphi=0 ou \pi, é linear; caso contrário, é elíptica.
  4. O sentido de rotação (mão direita ou esquerda) adota-se pela convenção IEEE: se E_x “antecede” E_y em \pi/2 ( \phi_x-\phi_y=+\pi/2), é mão direita.
  5. Para polarização elíptica, encontra-se a razão axial AR=|A_{\rm major}/A_{\rm minor}| e o ângulo de inclinação \psi do eixo maior, usando
\tan2\psi=\frac{2A_xA_y\cos\Delta\varphi}{A_x^2 - A_y^2}\,.

Passo 3

Caso (a):
\mathbf{E}=\hat{\mathbf x}\,E_{0}\cos\!(\beta z-\omega t) +\hat{\mathbf y}\,E_{0}\sin\!(\beta z-\omega t).
Aqui A_x=E_0, A_y=E_0. Como \sin\theta=\cos(\theta-\tfrac\pi2), temos \phi_x=0, \phi_y=-\tfrac\pi2, de modo que \Delta\varphi=-\tfrac\pi2. Logo |A_x|=|A_y| e \Delta\varphi=\pm\tfrac\pi2 \implies polarização circular. Como \phi_x-\phi_y=+\tfrac\pi2, é circular de mão direita.

Passo 4

Caso (b):
\mathbf{E}=\bigl(\hat{\mathbf x}E_{0}-j\,\hat{\mathbf y}E_{0}\bigr)e^{j(\beta z-\omega t)}.
No domínio fasorial E_x=E_0e^{j0}, E_y=E_0e^{-j\pi/2}. Assim A_x=E_0, A_y=E_0, \Delta\varphi=-\tfrac\pi2. Mesma situação de (a): polarização circular de mão direita.

Passo 5

Caso (c):
\mathbf{E}=\bigl(\hat{\mathbf x}E_{0}-\hat{\mathbf y}E_{0}\bigr)e^{j(\beta z-\omega t)}.
No fasor, E_x=E_0e^{j0}, E_y=E_0e^{j\pi} (pois o coeficiente é -1). Logo A_x=E_0, A_y=E_0, \Delta\varphi=\pi. Como \Delta\varphi=\pi, é polarização linear. A reta de polarização faz ângulo \theta tal que \tan\theta = A_y/A_x com sinal negativo, ou seja \theta=-45^\circ (linha num plano xy inclinada em -45^\circ).

Passo 6

Caso (d):
\mathbf{E}=\hat{\mathbf x}\,E_{0}\cos\!(\beta z-\omega t) -\hat{\mathbf y}\,2E_{0}\sin\!(\beta z-\omega t).
Escrevendo \sin\theta=\cos(\theta-\tfrac\pi2), tem-se A_x=E_0, \phi_x=0; A_y=2E_0, \phi_y=-\tfrac\pi2. Logo \Delta\varphi=-\tfrac\pi2\neq0,\pi e A_x\neq A_y \implies polarização elíptica. A razão axial vale
AR=\frac{A_{\rm maior}}{A_{\rm menor}} =\frac{2E_0}{E_0}=2.
O ângulo do eixo maior satisfaz \tan2\psi=0, ou seja \psi=0: o eixo maior está alinhado com o eixo y (vertical). Como \phi_x-\phi_y=+\tfrac\pi2, a rotação é de mão direita.

Resposta

a) Polarização circular, mão direita.
b) Polarização circular, mão direita.
c) Polarização linear, inclinação de -45^\circ no plano xy.
d) Polarização elíptica (razão axial 2), eixo maior vertical ( \psi=0), mão direita.

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