1. Se a tensão v=10 \cos \left(100 t+30^{\circ}\right) for aplicada a um capacitor de 50 mF , calcule a corrente através do capacitor.

Passo 1

O enunciado fornece a tensão aplicada ao capacitor e pede a corrente resultante. Temos
– tensão \displaystyle v(t)=10\cos\bigl(100t+30^\circ\bigr),
– capacitância \displaystyle C=50\text{ mF}=50\times10^{-3}\text{ F}.
Em teoria de circuitos, a corrente num capacitor é
i(t)=C\,\frac{dv(t)}{dt}\,.

Passo 2

Vamos derivar v(t):
\frac{dv}{dt} =\frac{d}{dt}\bigl[10\cos(100t+30^\circ)\bigr] =-10\cdot100\,\sin(100t+30^\circ) =-1000\,\sin(100t+30^\circ).

Passo 3

Agora multiplicamos por C:
i(t) =C\;\frac{dv}{dt} =50\times10^{-3}\,\bigl[-1000\,\sin(100t+30^\circ)\bigr] =-50\,\sin(100t+30^\circ)\\ \text{A}.

Passo 4

Para deixar em cosseno e mostrar que a corrente adianta a tensão em 90^\circ, usamos
-\sin\theta=\cos(\theta+90^\circ). Assim,
i(t) =50\,\cos\bigl(100t+30^\circ+90^\circ\bigr) =50\,\cos(100t+120^\circ)\\ \text{A}.

Resposta

\displaystyle i(t)=50\cos\bigl(100t+120^\circ\bigr)\\ \text{A}.

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