Uma onda plana se propaga na água do mar na direção +z e seu campo elétrico está descrito por \mathbf{E}=\hat{\mathbf{x}} 100 \cos \left(10^{7} \pi t\right) \mathrm{V} / \mathrm{m} no plano \mathrm{z}=0. Os parâmetros constitutivos da água do mar são \varepsilon_{r}=72, \mu_{r}=1 e \sigma=4 \mathrm{~S} / \mathrm{m}.
a) Determine: 1) o estado de polarização da onda, 2) A constante de atenuação, 3) a impedância intrínseca, 4) a velocidade de fase, 5) o comprimento de onda, e 6) a profundidade de penetração (skin depth).
b) Escreva as expressões para \mathbf{E}(z, t) e \mathbf{H}(z, t).
c) Encontre a distância z_{1} na qual a amplitude do campo elétrico é igual a 1 \% de seu valor em z=0.
d) Encontre as densidades de potência (irradiâncias) nos planos z=0 e z=\delta.
e) Encontre a profundidade de penetração (skin depth) na frequência de 1 GHz .

Passo 1

O enunciado descreve uma onda plana que se propaga na direção +z em água do mar, com campo elétrico em z=0 dado por
\mathbf{E}=\hat{\mathbf{x}}\,100\cos\bigl(10^{7}\pi t\bigr)\\ \mathrm{V/m}.
Os parâmetros do meio são \varepsilon_r=72, \mu_r=1 e \sigma=4\\ \mathrm{S/m}.
Conteúdo: propagação em meio condutor (constantes de propagação, impedância intrínseca, skin depth, Poynting).

Passo 2

Calculamos a frequência e identificamos a polarização.
\omega=10^{7}\pi\\ \mathrm{rad/s}, logo
f=\frac{\omega}{2\pi}=5\times10^{6}\\ \mathrm{Hz}.
Como \mathbf{E} está sempre na direção x, a onda é linearmente polarizada em x.

Passo 3

Avaliamos \sigma/(\omega\varepsilon) para ver se é bom condutor:
\varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r=8,854\times10^{-12}\cdot72\approx6,375\times10^{-10}\\ \mathrm{F/m},
\frac{\sigma}{\omega\varepsilon}\approx\frac{4}{(10^{7}\pi)(6,375\times10^{-10})}\approx200\gg1.
Usamos, pois, a aproximação de bom condutor:
\alpha\approx\beta\approx\sqrt{\frac{\omega\mu\sigma}{2}} =\sqrt{\frac{(10^{7}\pi)(4\pi\times10^{-7})(4)}{2}} \approx8,89\\ \mathrm{Np/m}\quad(\text{e rad/m}).

Passo 4

Impedância intrínseca em bom condutor:
\eta\approx(1+j)\sqrt{\frac{\omega\mu}{2\sigma}} =(1+j)\,2,22\\ \Omega.
Seu módulo e fase são
\;|\eta|\approx4,44\\ \Omega,\;\arg(\eta)=45^\circ.

Passo 5

Velocidade de fase, comprimento de onda e skin depth:
v_\varphi=\frac{\omega}{\beta}\approx\frac{10^{7}\pi}{8,89}\approx3,54\times10^{6}\\ \mathrm{m/s},
\lambda=\frac{2\pi}{\beta}\approx\frac{2\pi}{8,89}\approx0,707\\ \mathrm{m}, \qquad \delta=\frac{1}{\alpha}\approx0,1125\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Expressões de \mathbf{E}(z,t) e \mathbf{H}(z,t).
\mathbf{E}(z,t) =\hat{\mathbf{x}}\,100\,e^{-\alpha z}\cos\bigl(\omega t-\beta z\bigr)\\ \mathrm{V/m}.
Como \mathbf{H}=(1/\eta)\,\hat{\mathbf{z}}\times\mathbf{E} e \hat{\mathbf{z}}\times\hat{\mathbf{x}}=\hat{\mathbf{y}},
\mathbf{H}(z,t) =\hat{\mathbf{y}}\;\frac{100}{|\eta|}\, e^{-\alpha z}\cos\bigl(\omega t-\beta z-45^\circ\bigr)\\ \mathrm{A/m}.

Passo 7

Distância z_1 tal que E cai a 1\% da amplitude inicial:
e^{-\alpha z_1}=0,01 \quad\Longrightarrow\quad z_1=-\frac{\ln(0,01)}{\alpha} \approx\frac{4,605}{8,89}\approx0,518\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Irradiância média ( \langle S\rangle) em z=0 e z=\delta:
\langle S\rangle=\frac{E_m^2}{2\,|\eta|}.
Em z=0: E_m=100 V/m
\displaystyle\langle S_0\rangle=\frac{100^2}{2\cdot4,44}\approx1\,126\\ \mathrm{W/m^2}.
Em z=\delta: E_m=100e^{-1}\approx36,79 V/m
\displaystyle\langle S_\delta\rangle=\frac{36,79^2}{2\cdot4,44}\approx152\\ \mathrm{W/m^2}.

Passo 9

Skin depth a f=1\\ \mathrm{GHz}. Agora \omega=2\pi\cdot10^9.
Em bom condutor,
\delta_{1\text{GHz}}\approx\sqrt{\frac{2}{\omega\mu\sigma}} =\sqrt{\frac{2}{(2\pi\times10^9)(4\pi\times10^{-7})(4)}} \approx7,96\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.

Resposta

  • Polarização: linear no eixo x.
  • Constante de atenuação: \alpha\approx8,89 Np/m.
  • Impedância intrínseca: \eta\approx(1+j)2,22 \Omega ( |\eta|\approx4,44 \Omega, \arg\eta=45^\circ).
  • Velocidade de fase: v_\varphi\approx3,54\times10^6 m/s.
  • Comprimento de onda: \lambda\approx0,707 m.
  • Profundidade de penetração (skin depth): \delta\approx0,1125 m.
  • \displaystyle \mathbf{E}(z,t)=\hat{\mathbf{x}}\,100\,e^{-8,89\,z}\cos\bigl(10^7\pi\,t-8,89\,z\bigr) V/m.
  • \displaystyle \mathbf{H}(z,t)=\hat{\mathbf{y}}\,22,5\,e^{-8,89\,z}\cos\bigl(10^7\pi\,t-8,89\,z-45^\circ\bigr) A/m.
  • Distância para E ser 1\%: z_1\approx0,518 m.
  • Irradiância em z=0: \langle S_0\rangle\approx1,126\times10^3 W/ m^{2}.
  • Irradiância em z=\delta: \langle S_\delta\rangle\approx1,52\times10^2 W/ m^{2}.
  • Skin depth a 1 GHz: \delta_{1\text{GHz}}\approx7,96\times10^{-3} m.

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