a) Descreva completamente o estado de polarização das ondas cujos vetores de Jones são \left[\begin{array}{c}1 \\\ \sqrt{3}\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}i \\\\ -1\end{array}\right] e \left[\begin{array}{c}1-i \\\\ 1+i\end{array}\right], onde i é o número imaginário.
b) Encontre vetores de Jones ortogonais para cada um dos estados de polarização descritos anteriormente.

Passo 1

O enunciado fornece três vetores de Jones
v_1=\begin{pmatrix}1\\sqrt{3}\end{pmatrix}, \quad v_2=\begin{pmatrix}i\\\ -1\end{pmatrix}, \quad v_3=\begin{pmatrix}1-i\\\ 1+i\end{pmatrix},
e pede (a) que descrevamos completamente o estado de polarização de cada um (tipo—linear, elíptico ou circular—Ângulo de orientação, defasagem e, se circular, sentido de giro) e (b) que encontremos vetores de Jones ortogonais a cada um. Vamos usar a definição de vetor de Jones: para
\displaystyle v=\begin{pmatrix}E_x\E_y\end{pmatrix},
a amplitude em x é \lvert E_x\rvert, em y é \lvert E_y\rvert e a defasagem é \delta=\phi_y-\phi_x, com \phi_x=\arg(E_x), \phi_y=\arg(E_y).

Passo 2

Analisando v_1=\begin{pmatrix}1\\\ \sqrt{3}\end{pmatrix}:
\lvert E_x\rvert=1,\ \lvert E_y\rvert=\sqrt{3}.
\phi_x=0,\ \phi_y=0\ ( E_x,E_y reais e positivos), logo \delta=0.
Como \delta=0 e \lvert E_y\rvert/\lvert E_x\rvert=\sqrt{3}\neq 1, é polarização linear sem observação de elipse, com a linha de polarização fazendo ângulo
\psi=\arctan\frac{\lvert E_y\rvert}{\lvert E_x\rvert} =\arctan(\sqrt{3})=60^\circ
em relação ao eixo x.

Passo 3

Analisando v_2=\begin{pmatrix}i\\\\ -1\end{pmatrix}:
\lvert E_x\rvert=1,\ \lvert E_y\rvert=1.
\phi_x=\tfrac{\pi}{2},\ \phi_y=\pi, logo
\delta=\phi_y-\phi_x=\pi-\tfrac{\pi}{2}=\tfrac{\pi}{2}.
Como \lvert E_x\rvert=\lvert E_y\rvert e \lvert\delta\rvert=\tfrac{\pi}{2}, temos polarização circular. Para estabelecer o sentido, note que, multiplicando v_2 por -i (fator de fase global sem alterar a polarização), obtemos
-i\begin{pmatrix}i\\\\ -1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\\ i\end{pmatrix},
que é a forma usual de polarização circular direita (dextrógira) segundo a convenção óptica \bigl([1;i]\bigr).

Passo 4

Analisando v_3=(1-i,\,1+i)^T:
\lvert E_x\rvert=\sqrt{(1)^2+(-1)^2}=\sqrt2, \lvert E_y\rvert=\sqrt2.
\phi_x=\arg(1-i)=-\tfrac\pi4, \phi_y=\arg(1+i)=+\tfrac\pi4, logo
\delta=\phi_y-\phi_x=\tfrac\pi4-(-\tfrac\pi4)=\tfrac\pi2.
Também \lvert E_x\rvert=\lvert E_y\rvert e \delta=\tfrac\pi2, portanto polarização circular, e aplicando um fator de fase global \bigl(e^{i\pi/4}\bigr) reduz-se a \bigl[1;i\bigr]^T, idêntica à devida a v_2. Assim, trata-se de polarização circular direita.

Passo 5

Para v_1=(1,\sqrt3)^T queremos w_1=(a,b)^T tal que
\overline{1}\,a+\overline{\sqrt3}\,b=0\Rightarrow a+\sqrt3\,b=0.
Uma escolha simples é a=\sqrt3,\\ b=-1, ou normalizado
w_1=\frac1{2}\begin{pmatrix}\sqrt3\\\ -1\end{pmatrix},
que é linear em -30^\circ e ortogonal a v_1.

Passo 6

Para v_2=(i,-1)^T precisamos de w_2=(a,b)^T com
\overline{i}\,a+\overline{-1}\,b=-i\,a-\,b=0\Rightarrow b=-i\,a.
Tomando a=1,
w_2=\begin{pmatrix}1\\\ -i\end{pmatrix},
ou, para norma unitária, \tfrac1{\sqrt2}[1,-i]^T. Este é polarização circular esquerda (ortogonal a v_2).

Passo 7

Para v_3 o mesmo cálculo vale:
\overline{1-i}\,a+\overline{1+i}\,b=(1+i)a+(1-i)b=0 dá igualmente b=-i\,a.
Portanto, podemos usar de novo
w_3=\begin{pmatrix}1\\\ -i\end{pmatrix} \quad\bigl(\text{normalizado: }\tfrac1{\sqrt2}[1,-i]^T\bigr),
polarização circular esquerda, ortogonal a v_3.

Resposta

a)
v_1: polarização linear em \psi=60^\circ.
v_2: polarização circular direita ( \lvert E_x\rvert=\lvert E_y\rvert, \delta=+\tfrac\pi2).
v_3: polarização circular direita ( \lvert E_x\rvert=\lvert E_y\rvert, \delta=+\tfrac\pi2).
b)
Vetores de Jones ortogonais (não normalizados)
w_1=\begin{pmatrix}\sqrt3\\\ -1\end{pmatrix},\quad w_2=\begin{pmatrix}1\\\ -i\end{pmatrix},\quad w_3=\begin{pmatrix}1\\\ -i\end{pmatrix}.
Normalizados, por exemplo
w_1=\frac1{2}\begin{pmatrix}\sqrt3\\\ -1\end{pmatrix},\quad w_{2,3}=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\\ -i\end{pmatrix}.

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