No espaço livre \mathbf{E}(z, t)=\hat{x} 50 \cos (\omega t-\beta z) \mathrm{V} / \mathrm{m}. Encontre a potência média que atravessa uma área circular de raio 2.5 m em um plano z= constante.

SOLUÇÃO

Na forma complexa, \mathbf{E}=\hat{x} 50 \exp [j(\omega t-\beta z)] \mathrm{V} / \mathrm{m}. Uma vez que a impedância do espaço livre \eta_{0}= 120 \pi \Omega e a propagação se dá na direção +z, \mathbf{H}=\hat{y} \frac{5}{12 \pi} \exp [j(\omega t-\beta z)] \mathrm{A} / \mathrm{m}.
O valor médio temporal do vetor de Poynting, dado pela expressão \langle\mathbf{S}\rangle=(1 / 2) \Re e\left\{\mathbf{E}_{\mathbf{0}} \times \mathbf{H}_{\mathbf{0}}^{*}\right\}, tem unidade de \mathrm{V} \cdot \mathrm{A} / \mathrm{m}^{2}=\mathrm{W} / \mathrm{m}^{2} (Volt \times Ampère / metro ^{2}= Watt / metro ^{2} ). Logo, para obtermos a potência (em W) devemos multiplicar \mathrm{W} / \mathrm{m}^{2} pela área A da superfície ( \mathrm{m}^{2} ).
No problema em questão, as amplitudes \mathbf{E}_{0}=\hat{x} 50 \mathrm{~V} / \mathrm{me} \mathbf{H}_{0}=\hat{y} 5 / 12 \pi \mathrm{~A} / \mathrm{m} são quantidades reais e o fluxo é normal à área, i.e., o plano z= constante é perpendicular à direção de propagação.
Assim, a potência média pode ser escrita simplesmente como, P_{a v r}=A S, \operatorname{com} A a área da superfície
e S=(1 / 2) E_{0} H_{0} \Rightarrow P_{a v r}=\pi(2.5)^{2} \frac{1}{2}(50)\left(\frac{5}{12 \pi}\right)=65.1 \mathrm{~W}

Passo 1

O enunciado nos dá uma onda plana em espaço livre com
\mathbf{E}(z,t)=\hat{x}\,50\cos(\omega t-\beta z) V/m
e pede a potência média atravessando uma área circular de raio 2.5 m em um plano z= constante. Vamos usar o vetor de Poynting médio e a relação entre \mathbf{E} e \mathbf{H} via impedância do meio.

Passo 2

Em forma de fasor, a amplitude do campo elétrico é \mathbf{E}_0=\hat{x}\,50 V/m. Em espaço livre a impedância é \eta_0=120\pi \Omega, de modo que o fasor do campo magnético é
\mathbf{H}_0=\frac{1}{\eta_0}\,\hat{y}\,E_0.

Passo 3

Calculamos o módulo de \mathbf{H}_0:
H_0=\frac{E_0}{\eta_0}=\frac{50}{120\pi}=\frac{5}{12\pi}.
Portanto, H_0=\frac{5}{12\pi} A/m.

Passo 4

O valor médio temporal do vetor de Poynting é dado por
\langle S\rangle=\frac{1}{2}\,E_0\,H_0.

Passo 5

Substituindo os valores:
\langle S\rangle=\frac{1}{2}\times50\times\frac{5}{12\pi}=\frac{125}{12\pi}\approx3.32.
Logo, \langle S\rangle\approx3.32 W/m ^2.

Passo 6

A área do disco de raio 2.5 m é
A=\pi(2.5)^2=6.25\pi.
A potência média que atravessa essa área é
P_{\text{avr}}=A\,\langle S\rangle =\frac{125}{12\pi}\times6.25\pi =\frac{781.25}{12}\approx65.1.

Resposta

A potência média que atravessa a área circular é aproximadamente 65.1 W.

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