02(\mathbf{2 , 0}) - Um material sem perdas, não-magnético \operatorname{com} \varepsilon_{\mathrm{r}}=36 possui campo elétrico \mathbf{E}(z, t)=40 \pi \cos \left(\pi \times 10^{7} t-\beta z\right) \mathbf{x ~ V} / \mathrm{m}. Determine a velocidade de propagação, a constante de fase e a expressão instantânea para a intensidade de campo magnético.

Passo 1

O enunciado dá uma onda plana viajando no sentido +z num meio sem perdas, não-magnético ( \mu_r=1) com permitividade relativa \varepsilon_r=36. O campo elétrico é
\mathbf{E}(z,t)=40\pi\cos\bigl(\pi\times10^{7}t-\beta z\bigr)\,\mathbf{x}\\ \mathrm{V/m}.
Precisamos achar
  1. a velocidade de propagação v,
  2. a constante de fase \beta,
  3. a expressão instantânea do campo magnético \mathbf{H}(z,t).

Passo 2

Em um meio sem perdas temos
v=\frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}} =\frac{1}{\sqrt{\mu_0\mu_r\,\varepsilon_0\varepsilon_r}} =\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}\;\frac{1}{\sqrt{\mu_r\varepsilon_r}} =\frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r}},
onde c=1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}=3\times10^8\\ \mathrm{m/s}. Logo,
v=\frac{3\times10^8}{\sqrt{36}}= \frac{3\times10^8}{6}=5\times10^7\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

A frequência angular \omega vem do argumento do cosseno:
\omega=\pi\times10^7\\ \mathrm{rad/s}.
A constante de fase é
\beta=\frac{\omega}{v} =\frac{\pi\times10^7}{5\times10^7} =\frac{\pi}{5}\\ \mathrm{rad/m}.

Passo 4

O campo magnético é dado por
\mathbf{H}(z,t)=\frac{\mathbf{E}(z,t)\times\hat{\mathbf{k}}}{\eta},
mas como \mathbf{E} está em \mathbf{x} e o vetor de Poynting aponta em +z, \mathbf{H} deve estar em \mathbf{y}. A impedância do meio é
\eta=\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} =\frac{\eta_0}{\sqrt{\varepsilon_r}} =\frac{377}{6}\approx62{,}83\\ \Omega.
A amplitude de \mathbf{H} vale
H_0=\frac{E_0}{\eta} =\frac{40\pi}{62{,}83}\approx2\\ \mathrm{A/m}.
Portanto
\mathbf{H}(z,t) =2\cos\!\Bigl(\pi\times10^{7}t-\tfrac{\pi}{5}z\Bigr)\,\mathbf{y}\\ \mathrm{A/m}.

Resposta

v=5\times10^7\\ \mathrm{m/s}
\beta=\tfrac{\pi}{5}\\ \mathrm{rad/m}
\displaystyle \mathbf{H}(z,t)=2\cos\!\Bigl(\pi\times10^{7}t-\tfrac{\pi}{5}z\Bigr)\,\mathbf{y}\\ \mathrm{A/m}.

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