Descreva o comportamento das soluções quando t infty.

  1. x^prime=(rr-1 & -4 1 & -1) x

Passo 1

O enunciado pede para descrever o comportamento assintótico das soluções do sistema linear de equações diferenciais de primeira ordem: x′=Ax, onde
A=-1 & -4 1 & -1
O conteúdo principal aqui é análise de autovalores e estabilidade de sistemas lineares. Vamos precisar calcular o polinômio característico de A e examinar suas raízes.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico det(A−λI). Primeiro escrevemos
A-lambda I=-1-lambda & -4 1 & -1-lambda
e então
det(A-lambda I)=(-1-lambda)^2-(-4) =(-1-lambda)^2+4 =lambda^2+2lambda+5

Passo 3

Resolvendo a equação lambda^2+2lambda+5=0 pelo fórmula de Bhaskara, obtemos
lambda = -2 pm raiz4-202= -1 pm 2,i
Isso significa que cada solução tem forma geral envolvendo e^-t vezes combinações de cos(2t) e sin(2t).

Passo 4

Como as partes reais dos autovalores são Re(lambda)=-1<0, o ponto de equilíbrio na origem é um foco assintoticamente estável. Assim, para qualquer condição inicial não nula, as soluções espiralam em torno da origem com amplitude decrescente, e converge para zero à medida que ttoinfty.

Resposta

As soluções são espirais amortecidas que convergem para a origem (foco assintoticamente estável).

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