Descreva o comportamento das soluções quando
.
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Passo 1
O enunciado pede para descrever o comportamento assintótico das soluções do sistema linear de equações diferenciais de primeira ordem: x′=Ax, onde
O conteúdo principal aqui é análise de autovalores e estabilidade de sistemas lineares. Vamos precisar calcular o polinômio característico de A e examinar suas raízes.
Passo 2
Calculamos o polinômio característico det(A−λI). Primeiro escrevemos
e então
Passo 3
Resolvendo a equação
pelo fórmula de Bhaskara, obtemos
Isso significa que cada solução tem forma geral envolvendo
vezes combinações de
e
.
Passo 4
Como as partes reais dos autovalores são
, o ponto de equilíbrio na origem é um foco assintoticamente estável. Assim, para qualquer condição inicial não nula, as soluções espiralam em torno da origem com amplitude decrescente, e converge para zero à medida que
.
Resposta
As soluções são espirais amortecidas que convergem para a origem (foco assintoticamente estável).