Seja a função
dada por:
Determine
, fora da origem e por definição na origem.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma função de duas variáveis, $ f(x, y) = \sqrt{x^4 + 4y^4} $, e precisamos encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a $ x $ e $ y $. Além disso, temos que calcular essas derivadas para todos os pontos fora da origem e também definir como elas se comportam exatamente na origem. Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação para funções de várias variáveis e entender como calcular derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $. A derivada parcial mede como a função muda quando a gente altera apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.
A função dada é:
Para derivar em relação a $ x $, tratamos $ y $ como uma constante. Vamos usar a regra da cadeia. Se temos $ f(u) = \sqrt{u} $, então $ f’(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}} $. Aqui, $ u = x^4 + 4y^4 $.
Então, a derivada será:
Passo 3
Agora, vamos calcular $ \frac{d}{dx}(x^4 + 4y^4) $. Como $ y $ é constante em relação a $ x $, a derivada de $ 4y^4 $ em relação a $ x $ é zero. A derivada de $ x^4 $ em relação a $ x $ é $ 4x^3 $. Portanto:
Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Seguindo o mesmo raciocínio, tratamos $ x $ como constante e aplicamos a regra da cadeia.
A derivada será:
Passo 5
Calculando $ \frac{d}{dy}(x^4 + 4y^4) $, temos:
Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
Passo 6
Até aqui, encontramos as derivadas parciais em qualquer ponto fora da origem:
Agora, precisamos verificar o que acontece na origem, ou seja, quando $ x = 0 $ e $ y = 0 $.
Passo 7
Para encontrar as derivadas parciais na origem, usamos a definição de derivada parcial, que envolve o limite:
Passo 8
Calculando $ f(h,0) $ e $ f(0,k) $:
E $ f(0,0) = \sqrt{0 + 0} = 0 $.
Passo 9
Substituindo nos limites:
Resposta
As derivadas parciais de $ f $ são:
Para qualquer ponto
:
Na origem
: