Seja a função f: R^2 longrightarrow R dada por:
f(x, y)=raizx^4+4 y^4
Determine partial fpartial x e partial fpartial y, fora da origem e por definição na origem.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma função de duas variáveis, $ f(x, y) = \sqrt{x^4 + 4y^4} $, e precisamos encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a $ x $ e $ y $. Além disso, temos que calcular essas derivadas para todos os pontos fora da origem e também definir como elas se comportam exatamente na origem. Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação para funções de várias variáveis e entender como calcular derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $. A derivada parcial mede como a função muda quando a gente altera apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.
A função dada é:
f
Para derivar em relação a $ x $, tratamos $ y $ como uma constante. Vamos usar a regra da cadeia. Se temos $ f(u) = \sqrt{u} $, então $ f’(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}} $. Aqui, $ u = x^4 + 4y^4 $.
Então, a derivada será:
x

Passo 3

Agora, vamos calcular $ \frac{d}{dx}(x^4 + 4y^4) $. Como $ y $ é constante em relação a $ x $, a derivada de $ 4y^4 $ em relação a $ x $ é zero. A derivada de $ x^4 $ em relação a $ x $ é $ 4x^3 $. Portanto:
ddx(x^4 + 4y^4)
Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
y

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Seguindo o mesmo raciocínio, tratamos $ x $ como constante e aplicamos a regra da cadeia.
A derivada será:
f

Passo 5

Calculando $ \frac{d}{dy}(x^4 + 4y^4) $, temos:
ddy(x^4 + 4y^4)
Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
ddy(x^4 + 4y^4) = 0 + 16y^3 = 16y^3

Passo 6

Até aqui, encontramos as derivadas parciais em qualquer ponto fora da origem:
partial fpartial x = 2x^3raizx^4 + 4y^4 e partial fpartial y = 8y^3raizx^4 + 4y^4
Agora, precisamos verificar o que acontece na origem, ou seja, quando $ x = 0 $ e $ y = 0 $.

Passo 7

Para encontrar as derivadas parciais na origem, usamos a definição de derivada parcial, que envolve o limite:
partial fpartial x(0,0) = limh to 0 f(h,0) - f(0,0)h
partial fpartial y(0,0) = limk to 0 f(0,k) - f(0,0)k

Passo 8

Calculando $ f(h,0) $ e $ f(0,k) $:
f(h,0)
f(0,k)
E $ f(0,0) = \sqrt{0 + 0} = 0 $.

Passo 9

Substituindo nos limites:
partial fpartial x(0,0) = limh to 0 h^2 - 0h = limh to 0 h = 0
partial fpartial y(0,0) = limk to 0 2k^2 - 0k = limk to 0 2k = 0

Resposta

As derivadas parciais de $ f $ são:
Para qualquer ponto f :
(x, y) neq (0,0)
Na origem partial fpartial x = 2x^3raizx^4 + 4y^4, partial fpartial y = 8y^3raizx^4 + 4y^4 :
(0,0)

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