Descreva o conjunto dos pontos do plano x y em que f é contínua
f(x, y)=\sqrt{25-x^{2}-y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o conjunto de pontos (x,y) em que a função
f(x,y)=\sqrt{25 - x^{2} - y^{2}}
é contínua. O conteúdo envolve continuidade de funções compostas: o polinômio g(x,y)=25 - x^{2} - y^{2} e a função \sqrt{\cdot}, que é contínua em [0,\infty).

Passo 2

Determinar o domínio de f. Para que a raiz quadrada seja bem definida, precisamos de
25 - x^{2} - y^{2} \ge 0.

Passo 3

Reescrevendo a desigualdade, obtemos
x^{2} + y^{2} \le 25.
Logo, o domínio de f é o disco fechado de raio 5:
D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}+y^{2}\le 25\}.

Passo 4

Analisando continuidade:
  1. g(x,y)=25 - x^{2} - y^{2} é um polinômio em (x,y), logo contínuo em \mathbb{R}^2.
  2. A função h(t)=\sqrt{t} é contínua em [0,\infty).
  3. A composição f(x,y)=h\bigl(g(x,y)\bigr) é contínua em todos os pontos onde g(x,y)\ge0, isto é, em todo o domínio D.

Resposta

A função f é contínua em
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2} + y^{2} \le 25\}.

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