Descreva o conjunto dos pontos do plano x y em que f é contínua
f(x, y)=\frac{x y}{x^{2}-y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para descrever o conjunto de pontos (x,y) em \mathbb{R}^2 onde
f(x,y)=\frac{x\,y}{x^{2}-y^{2}}
é contínua. Como f é o quociente de duas funções polinomiais, sabemos pela teoria de continuidade que ela será contínua exatamente onde o denominador não se anula.

Passo 2

Devemos então exigir
x^{2}-y^{2}\neq 0
Isto equivale a
x^{2}\neq y^{2}\quad\Longleftrightarrow\quad x\neq y\quad\text{e}\quad x\neq -y.

Resposta

O conjunto de continuidade de f é
\bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}-y^{2}\neq 0\bigr\}
ou seja, todo (x,y) com x\neq y e x\neq -y.

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