Descreva o conjunto dos pontos do plano x y z em que f é contínua
f(x, y, z)=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}-z^{2}}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y,z)=\sqrt{\,4 - x^{2} - y^{2} - z^{2}\,}
e pede o conjunto de pontos em que f é contínua. O conteúdo aqui é continuidade de funções compostas: sabemos que polinômios são contínuos em \mathbb{R}^3 e que a raiz quadrada é contínua em [0,\infty). Logo, basta achar o domínio em que a composição está bem definida.

Passo 2

A raiz quadrada \sqrt{t} só está definida (em \mathbb{R}) quando o argumento satisfaz t \ge 0.
No nosso caso, t = 4 - x^{2} - y^{2} - z^{2}. Portanto o domínio de f é dado pela condição
4 - x^{2} - y^{2} - z^{2} \ge 0.

Passo 3

Reescrevendo a desigualdade obtemos
x^{2} + y^{2} + z^{2} \le 4,
que é exatamente a bola fechada de raio 2 centrada na origem em \mathbb{R}^3.

Passo 4

Como a função
(x,y,z)\mapsto 4 - x^{2} - y^{2} - z^{2}
é polinomial (logo contínua em todo \mathbb{R}^3) e a raiz quadrada é contínua em [0,\infty), a composição mantém a continuidade em todo o domínio onde está definida.

Resposta

O conjunto de continuidade de f é
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^{2} + y^{2} + z^{2} \le 4\}.

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