Descreva o conjunto dos pontos do plano x y z em que f é contínua
f(x, y, z)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}-z^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o conjunto de pontos (x,y,z) em \mathbb{R}^3 onde a função
f(x,y,z)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}-z^{2}}
é contínua. O conteúdo aqui é que quocientes de funções contínuas são contínuos desde que o denominador não seja zero.

Passo 2

A função
g(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z^{2}
é contínua em todo \mathbb{R}^3. O valor de f só faz sentido quando g(x,y,z)\neq0, pois não podemos dividir por zero.

Passo 3

Logo, o domínio de f — e portanto o lugar onde ela é contínua — é justamente o conjunto
D=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x^{2}+y^{2}-z^{2}\neq0\}.
Em outras palavras, f é contínua nos pontos onde
x^{2}+y^{2}-z^{2}>0 \quad\text{ou}\quad x^{2}+y^{2}-z^{2}<0,
isto é, fora da superfície dupla de equação x^{2}+y^{2}=z^{2}.

Resposta

\displaystyle \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x^{2}+y^{2}-z^{2}\neq0\}

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