Descreva a curva interseção do parabolóide \Omega com o plano \pi e determine, quando for o caso, centro, focos, vértices, excentricidade, assíntotas, raio etc.
(c) \Omega: x+y^{2}+2 z^{2}=0
\pi: x-1=0

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície quadrática (parabolóide)
\Omega:\; x + y^{2} + 2z^{2} = 0
e o plano
\pi:\; x - 1 = 0,
ou seja \pi é o plano x=1.
O que se pede: descrever a curva interseção \Omega\cap\pi e, quando aplicável, determinar centro, focos, vértices, excentricidade, assíntotas, raio etc.
Informações relevantes fornecidas:
  • A superfície \Omega é dada por uma equação quadrática em x,y,z.
  • O plano \pi é o plano vertical paralelo ao plano yz, com coordenada x=1.
  • A interseção \Omega\cap\pi é obtida impondo simultaneamente as equações de \Omega e de \pi.

Passo 2

Estratégia prática (como fazer na prova): como \pi é o plano x=1, substituir x=1 na equação de \Omega para obter a equação que os pontos da interseção devem satisfazer no sistema de coordenadas do plano (aqui, as coordenadas livres são y e z). Depois analisar essa equação resultante para ver se ela define uma curva real (elipse, hipérbole, parábola, ponto isolado) ou não tem soluções reais.
Antes de aplicar, uma breve explicação didática sobre o que esperar depois da substituição:
  • Quando se intersecta um quadriculado com um plano, a interseção é, em geral, uma cônica no plano (ou uma degeneração: ponto, par de retas, vazio).
  • Para classificar a cônica em coordenadas do plano, olha-se a forma quadrática em y,z após a substituição e o sinal/valor do termo independente.

Passo 3

Substituindo x=1 na equação de \Omega obtemos a condição para pontos da interseção:
1 + y^{2} + 2z^{2} = 0.

Passo 4

Análise dessa equação: sabemos que, para todo y\in\mathbb{R}, y^{2}\ge 0 e para todo z\in\mathbb{R}, 2z^{2}\ge 0. Portanto
y^{2} + 2z^{2} \ge 0,
e assim
1 + y^{2} + 2z^{2} \ge 1.
Logo 1 + y^{2} + 2z^{2} nunca pode ser igual a 0 quando y,z são reais: isso implicaria 1 \le 0, contradição. Em termos lógicos: não existem y,z\in\mathbb{R} tais que 1 + y^{2} + 2z^{2}=0.

Passo 5

Conclusão sobre a interseção: não existem pontos reais comuns a \Omega e a \pi. Portanto a interseção \Omega\cap\pi é o conjunto vazio (nenhuma curva real é gerada).
Observações didáticas e dicas de prova:
  • Se a constante tivesse sido diferente (por exemplo se o plano fosse x=-1), a substituição daria -1 + y^{2} + 2z^{2}=0, ou seja y^{2}+2z^{2}=1, que é uma elipse real no plano x=-1 com centro (-1,0,0) e semi-eixos a=1 (direção y) e b=1/\sqrt{2} (direção z). Nessa situação seria possível encontrar centro, vértices, excentricidade \;e=\sqrt{1-b^{2}/a^{2}}=\sqrt{1-\tfrac{1}{2}}=\tfrac{1}{\sqrt{2}}, etc.
  • Se a substituição produz uma soma de quadrados igual a 0 sem constante positiva (por exemplo y^{2}+2z^{2}=0), isso só admite a solução y=0,z=0 (ponto isolado).
  • Sempre que for cortar um quadrático com um plano, faça a substituição direta e então analise o sinal e as formas quadráticas resultantes para classificar a cônica.

Resposta

\Omega\cap\pi=\varnothing (não há interseção real).

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