25-11 Seja \Omega: x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}-z^{2} / c^{2}=1 um hiperbolóide de uma folha.
(a) Prove que, se a \neq b, todas as elipses obtidas como interseção de \Omega com planos paralelos a Oxy são semelhantes.
(b) Prove que, se k varia em ]- b, b[, as interseções de \Omega com planos de equação y=k são hipérboles semelhantes.
(c) Prove que, se k varia na reunião dos intervalos ]-\infty,-b[ e ] b, \infty[, as interseções de \Omega com planos de equação y=k são hipérboles semelhantes.
(d) A que condições devem estar submetidos a, b e c para que as hipérboles do item (b) sejam semelhantes às do item (c)?

Passo 1

Vou escrever claramente o que o enunciado dá e o que pede, enumerando as quatro perguntas.
Dados fornecidos:
  • A superfície \Omega é o hiperbolóide de uma folha definido por
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1,
com a,b,c>0 (valores reais positivos assumidos para semieixos).
Perguntas:
(a) Mostrar que, se a\neq b, todas as elipses obtidas cortando \Omega por planos paralelos ao plano Oxy são semelhantes.
(b) Mostrar que, para k\in\;]-b,b[, as interseções \Omega\cap\{y=k\} são hipérboles semelhantes.
(c) Mostrar que, para k\in(-\infty,-b)\cup(b,\infty), as interseções \Omega\cap\{y=k\} são hipérboles semelhantes.
(d) Determinar que condição entre a,b,c faz com que as hipérboles do item (b) sejam semelhantes às do item (c).

Passo 2

Conceitos e critério prático de semelhança para seções cônicas (aulas rápidas):
  • Definição prática: duas cônicas planas são semelhantes se uma pode ser obtida da outra por uma transformação composta apenas de uma homotetia (escala uniforme) seguida possivelmente de uma rotação e translação. Em termos de formas canônicas:
    • Para elipses em posição canônica \dfrac{x^{2}}{A^{2}}+\dfrac{y^{2}}{B^{2}}=1, a semelhança entre duas elipses reduz-se a igualdade da razão \dfrac{A}{B} (ou seja, a razão entre semieixos maiores e menores).
    • Para hipérboles em posição canônica \dfrac{x^{2}}{\alpha^{2}}-\dfrac{z^{2}}{\beta^{2}}=1 (ou a forma com sinal trocado), duas hipérboles são semelhantes se a razão \dfrac{\alpha}{\beta} for a mesma para ambas.
  • Estratégia: para cada família de seções, colocar a equação da interseção em forma canônica, identificar os comprimentos dos semieixos em função do parâmetro do plano (por exemplo z constante ou y=k) e verificar se a razão entre os semieixos é independente do parâmetro. Se for independente, as cônicas são semelhantes.

Passo 3

Resolvendo (a): interseções por planos paralelos a Oxy.
  • Um plano paralelo a Oxy tem equação z=z_0, com z_0 constante. Substituindo na equação de \Omega temos
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z_{0}^{2}}{c^{2}}=1.
  • Reescrevendo,
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1+\frac{z_{0}^{2}}{c^{2}}.
  • Colocando em forma canônica de elipse dividindo ambos os lados por 1+\dfrac{z_{0}^{2}}{c^{2}},
\frac{x^{2}}{a^{2}\left(1+\dfrac{z_{0}^{2}}{c^{2}}\right)}+\frac{y^{2}}{b^{2}\left(1+\dfrac{z_{0}^{2}}{c^{2}}\right)}=1.
  • Portanto os semieixos da elipse (nos eixos x e y) são
A(z_0)=a\sqrt{1+\frac{z_{0}^{2}}{c^{2}}},\qquad B(z_0)=b\sqrt{1+\frac{z_{0}^{2}}{c^{2}}}.
  • A razão entre os semieixos é
\frac{A(z_0)}{B(z_0)}=\frac{a\sqrt{1+\dfrac{z_{0}^{2}}{c^{2}}}}{b\sqrt{1+\dfrac{z_{0}^{2}}{c^{2}}}}=\frac{a}{b},
que é independente de z_0. Assim todas as elipses têm a mesma razão de semieixos e, portanto, são semelhantes. (A hipótese a\neq b garante que não são círculos triviais; mesmo se a=b as seções seriam círculos e ainda assim todas semelhantes entre si, mas o enunciado pede o caso a\neq b.)

Passo 4

Interpretação didática e exemplo rápido para (a):
  • Intuição: cortar o hiperbolóide por planos horizontais simplesmente escala a elipse em x e y pelo mesmo fator \sqrt{1+z_0^2/c^2}. Como o mesmo fator multiplica ambos os semieixos, a forma (razão entre semieixos) não muda.
  • Exemplo numérico (ilustrativo): se a=2,b=1,c=3 e z_0=0 a elipse tem semieixos 2 e 1; para z_0=3 os semieixos são 2\sqrt{1+1}=2\sqrt{2} e 1\sqrt{2}=\sqrt{2}, razão sempre 2.

Passo 5

Resolvendo (b): interseções por planos y=k com k\in\;]-b,b[.
  • Substituindo y=k na equação de \Omega obtemos
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{k^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1.
  • Reescrevendo isolando as variáveis x e z,
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1-\frac{k^{2}}{b^{2}}.
  • Para k\in\;]-b,b[ temos 1-\dfrac{k^{2}}{b^{2}}>0. Defina o fator positivo
\lambda(k)=1-\frac{k^{2}}{b^{2}}>0.
  • Dividindo ambos os lados por \lambda(k) obtemos a forma canônica da hipérbole (transversal no eixo x):
\frac{x^{2}}{a^{2}\lambda(k)}-\frac{z^{2}}{c^{2}\lambda(k)}=1.
  • Os semieixos (valores característicos) são
\alpha(k)=a\sqrt{\lambda(k)},\qquad \beta(k)=c\sqrt{\lambda(k)}.
  • A razão entre semieixos é
\frac{\alpha(k)}{\beta(k)}=\frac{a\sqrt{\lambda(k)}}{c\sqrt{\lambda(k)}}=\frac{a}{c},
que é independente de k. Portanto, para qualquer k\in\;]-b,b[, as hipérboles \Omega\cap\{y=k\} são todas semelhantes entre si, com razão fixa \dfrac{a}{c}.

Passo 6

Comentário didático sobre (b):
  • Intuição: fixar y=k apenas multiplica os dois denominadores a^{2} e c^{2} pelo mesmo fator \lambda(k) no processo de normalização, o que equivale a uma homotetia uniforme dos semieixos; portanto a forma (razão entre semieixos) não muda. O sinal indica que para |k|<b a hipérbole tem ramo aberto ao longo de x.

Passo 7

Resolvendo (c): interseções por planos y=k com |k|>b.
  • Novamente partimos de
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1-\frac{k^{2}}{b^{2}}.
  • Agora, se |k|>b então 1-\dfrac{k^{2}}{b^{2}}<0. Colocando o sinal do lado direito positivo, escrevemos
\frac{z^{2}}{c^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}=\frac{k^{2}}{b^{2}}-1.
  • Defina o fator positivo
\mu(k)=\frac{k^{2}}{b^{2}}-1>0.
  • Dividindo por \mu(k) obtemos a forma canônica da hipérbole (agora com ramos abertos ao longo do eixo z):
\frac{z^{2}}{c^{2}\mu(k)}-\frac{x^{2}}{a^{2}\mu(k)}=1.
  • Os semieixos eficazes (característicos) são
\tilde{\alpha}(k)=c\sqrt{\mu(k)},\qquad \tilde{\beta}(k)=a\sqrt{\mu(k)}.
  • A razão entre semieixos é
\frac{\tilde{\alpha}(k)}{\tilde{\beta}(k)}=\frac{c\sqrt{\mu(k)}}{a\sqrt{\mu(k)}}=\frac{c}{a},
independente de k. Logo, para todos os k com |k|>b, as hipérboles \Omega\cap\{y=k\} são todas semelhantes entre si, com razão fixa \dfrac{c}{a}.

Passo 8

Comentário didático sobre (c):
  • Intuição: para |k|>b a seção muda de tipo (a constante do lado direito fica negativa na expressão original), o que faz a hipérbole “inverter” a direção dos ramos (abrem ao longo de z em vez de x). Ainda assim o mesmo fator \sqrt{\mu(k)} escala ambos os semieixos e a razão entre eles permanece constante, garantindo semelhança interna da família.

Passo 9

Resolvendo (d): quando as hipérboles de (b) são semelhantes às de (c)?
  • Das partes (b) e (c) obtivemos que a razão entre semieixos das hipérboles em ]-b,b[ é \dfrac{a}{c} e, para |k|>b, é \dfrac{c}{a}.
  • Duas hipérboles são semelhantes quando suas razões entre semieixos coincidem. Assim precisamos de
\frac{a}{c}=\frac{c}{a}.
  • Resolvendo essa igualdade positiva (já que a,c>0),
\frac{a}{c}=\frac{c}{a}\quad\Longrightarrow\quad a^{2}=c^{2}\quad\Longrightarrow\quad a=c.
  • Portanto a condição necessária e suficiente para que qualquer hipérbole do item (b) seja semelhante a qualquer hipérbole do item (c) é
a=c.
  • Observação: não aparece b nessa condição; b apenas determina quais planos y=k produzem uma ou outra família, mas a semelhança cruzada entre famílias depende só de a e c.

Resposta

(a) Sim. Todas as elipses \Omega\cap\{z=z_0\} são semelhantes; a razão entre semieixos é \dfrac{a}{b}.
(b) Sim. Para k\in\;]-b,b[ as seções \Omega\cap\{y=k\} são hipérboles semelhantes entre si; a razão entre semieixos é \dfrac{a}{c}.
(c) Sim. Para |k|>b as seções \Omega\cap\{y=k\} são hipérboles semelhantes entre si; a razão entre semieixos é \dfrac{c}{a}.
(d) As hipérboles do item (b) são semelhantes às do item (c) exatamente quando a=c.

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