25-11 Seja
um hiperbolóide de uma folha.
(a) Prove que, se
, todas as elipses obtidas como interseção de
com planos paralelos a Oxy são semelhantes.
(b) Prove que, se
varia em ]-
, as interseções de
com planos de equação
são hipérboles semelhantes.
(c) Prove que, se
varia na reunião dos intervalos
e
, as interseções de
com planos de equação
são hipérboles semelhantes.
(d) A que condições devem estar submetidos
e
para que as hipérboles do item (b) sejam semelhantes às do item (c)?
(a) Prove que, se
(b) Prove que, se
(c) Prove que, se
(d) A que condições devem estar submetidos
Passo 1
Vou escrever claramente o que o enunciado dá e o que pede, enumerando as quatro perguntas.
Dados fornecidos:
- A superfície
é o hiperbolóide de uma folha definido por
com
(valores reais positivos assumidos para semieixos).
Perguntas:
(a) Mostrar que, se , todas as elipses obtidas cortando
por planos paralelos ao plano
são semelhantes.
(b) Mostrar que, para , as interseções
são hipérboles semelhantes.
(c) Mostrar que, para , as interseções
são hipérboles semelhantes.
(d) Determinar que condição entre faz com que as hipérboles do item (b) sejam semelhantes às do item (c).
(a) Mostrar que, se
(b) Mostrar que, para
(c) Mostrar que, para
(d) Determinar que condição entre
Passo 2
Conceitos e critério prático de semelhança para seções cônicas (aulas rápidas):
- Definição prática: duas cônicas planas são semelhantes se uma pode ser obtida da outra por uma transformação composta apenas de uma homotetia (escala uniforme) seguida possivelmente de uma rotação e translação. Em termos de formas canônicas:
- Para elipses em posição canônica
, a semelhança entre duas elipses reduz-se a igualdade da razão (ou seja, a razão entre semieixos maiores e menores). - Para hipérboles em posição canônica
(ou a forma com sinal trocado), duas hipérboles são semelhantes se a razão for a mesma para ambas.
- Para elipses em posição canônica
- Estratégia: para cada família de seções, colocar a equação da interseção em forma canônica, identificar os comprimentos dos semieixos em função do parâmetro do plano (por exemplo
constante ou ) e verificar se a razão entre os semieixos é independente do parâmetro. Se for independente, as cônicas são semelhantes.
Passo 3
Resolvendo (a): interseções por planos paralelos a
.
- Um plano paralelo a
tem equação , com constante. Substituindo na equação de temos
- Reescrevendo,
- Colocando em forma canônica de elipse dividindo ambos os lados por
,
- Portanto os semieixos da elipse (nos eixos
e ) são
- A razão entre os semieixos é
que é independente de
. Assim todas as elipses têm a mesma razão de semieixos e, portanto, são semelhantes. (A hipótese
garante que não são círculos triviais; mesmo se
as seções seriam círculos e ainda assim todas semelhantes entre si, mas o enunciado pede o caso
.)
Passo 4
Interpretação didática e exemplo rápido para (a):
- Intuição: cortar o hiperbolóide por planos horizontais simplesmente escala a elipse em
e pelo mesmo fator . Como o mesmo fator multiplica ambos os semieixos, a forma (razão entre semieixos) não muda. - Exemplo numérico (ilustrativo): se
e a elipse tem semieixos e ; para os semieixos são e , razão sempre .
Passo 5
Resolvendo (b): interseções por planos
com
.
- Substituindo
na equação de obtemos
- Reescrevendo isolando as variáveis
e ,
- Para
temos . Defina o fator positivo
- Dividindo ambos os lados por
obtemos a forma canônica da hipérbole (transversal no eixo ):
- Os semieixos (valores característicos) são
- A razão entre semieixos é
que é independente de
. Portanto, para qualquer
, as hipérboles
são todas semelhantes entre si, com razão fixa
.
Passo 6
Comentário didático sobre (b):
- Intuição: fixar
apenas multiplica os dois denominadores e pelo mesmo fator no processo de normalização, o que equivale a uma homotetia uniforme dos semieixos; portanto a forma (razão entre semieixos) não muda. O sinal indica que para a hipérbole tem ramo aberto ao longo de .
Passo 7
Resolvendo (c): interseções por planos
com
.
- Novamente partimos de
- Agora, se
então . Colocando o sinal do lado direito positivo, escrevemos
- Defina o fator positivo
- Dividindo por
obtemos a forma canônica da hipérbole (agora com ramos abertos ao longo do eixo ):
- Os semieixos eficazes (característicos) são
- A razão entre semieixos é
independente de
. Logo, para todos os
com
, as hipérboles
são todas semelhantes entre si, com razão fixa
.
Passo 8
Comentário didático sobre (c):
- Intuição: para
a seção muda de tipo (a constante do lado direito fica negativa na expressão original), o que faz a hipérbole “inverter” a direção dos ramos (abrem ao longo de em vez de ). Ainda assim o mesmo fator escala ambos os semieixos e a razão entre eles permanece constante, garantindo semelhança interna da família.
Passo 9
Resolvendo (d): quando as hipérboles de (b) são semelhantes às de (c)?
- Das partes (b) e (c) obtivemos que a razão entre semieixos das hipérboles em
é e, para , é . - Duas hipérboles são semelhantes quando suas razões entre semieixos coincidem. Assim precisamos de
- Resolvendo essa igualdade positiva (já que
),
- Portanto a condição necessária e suficiente para que qualquer hipérbole do item (b) seja semelhante a qualquer hipérbole do item (c) é
- Observação: não aparece
nessa condição; apenas determina quais planos produzem uma ou outra família, mas a semelhança cruzada entre famílias depende só de e .
Resposta
(a) Sim. Todas as elipses
são semelhantes; a razão entre semieixos é
.
(b) Sim. Para
as seções
são hipérboles semelhantes entre si; a razão entre semieixos é
.
(c) Sim. Para
as seções
são hipérboles semelhantes entre si; a razão entre semieixos é
.
(d) As hipérboles do item (b) são semelhantes às do item (c) exatamente quando
.