Lembre-se que
\operatorname{cosh} b t=\left(e^{b t}+e^{-b t}\right) / 2 e
\operatorname{senh} b t=\left(e^{b t}+e^{-b t}\right) / 2. Encontre a transformada de Laplace da função dada; a e b são constantes reais.
Questão 19 (9-6.1):
f(t)=e^{a t} \operatorname{cosh} b t

Passo 1

O enunciado dá a função f(t) e pede a sua transformada de Laplace. Informação fornecida:
  • A função é f(t)=e^{a t}\operatorname{cosh} b t, onde a e b são constantes reais.
  • Foi lembrada a identidade \operatorname{cosh} b t=\dfrac{e^{b t}+e^{-b t}}{2}.
O que se pede: encontrar \mathcal{L}\{f(t)\}(s), ou seja, a expressão da transformada de Laplace de f(t) em função da variável de Laplace s. Também é importante indicar para quais valores de s a transformada converge.

Passo 2

Vamos usar a identidade dada para escrever \operatorname{cosh} b t como soma de exponenciais. Isto transforma o produto e^{a t}\operatorname{cosh} b t numa soma de exponenciais simples, que é o que a gente sabe transformar com facilidade.
Relembre: a identidade é
\operatorname{cosh} b t=\frac{e^{b t}+e^{-b t}}{2}.

Passo 3

Aplicando a identidade dentro de f(t) obtemos uma decomposição simples:
f(t)=e^{a t}\operatorname{cosh} b t = e^{a t}\cdot\frac{e^{b t}+e^{-b t}}{2} = \frac{1}{2}\bigl(e^{(a+b)t}+e^{(a-b)t}\bigr).
Aqui cada expoente é uma constante multiplicando t: os dois termos são exponenciais do tipo e^{c t} com c=a+b e c=a-b.

Passo 4

Agora lembramos a definição e uma fórmula básica da transformada de Laplace.
Definição (forma útil): para uma função g(t) adequada, a transformada de Laplace é
\mathcal{L}\{g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}g(t)\,dt,
onde s é a variável complexa da transformada.
Fórmula fundamental que vamos usar (e que pode ser obtida integrando a definição):
para constante c real (ou complexa) vale, quando a integral convergir,
\mathcal{L}\{e^{c t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}e^{c t}\,dt =\int_{0}^{\infty} e^{-(s-c)t}\,dt =\frac{1}{s-c},
com condição de convergência \operatorname{Re}(s)> \operatorname{Re}\text{(c)}. Aqui \operatorname{Re}(\cdot) significa parte real.
Explicando passo a passo essa integração: a integral de \int_{0}^{\infty} e^{-\alpha t}\,dt é \frac{1}{\alpha} se \operatorname{Re}(\alpha)>0; aqui \alpha=s-c. Portanto a fórmula acima é válida quando \operatorname{Re}(s-c)>0, isto é \operatorname{Re}(s)>\operatorname{Re}\text{(c)}.

Passo 5

Usando linearidade da transformada (a transformada de uma soma é a soma das transformadas, e constantes saem fora), aplicamos a \tfrac{1}{2}\bigl(e^{(a+b)t}+e^{(a-b)t}\bigr):
\mathcal{L}\{f(t)\}(s) =\frac{1}{2}\left(\mathcal{L}\{e^{(a+b)t}\}(s)+\mathcal{L}\{e^{(a-b)t}\}(s)\right).
Pelo resultado do passo anterior,
\mathcal{L}\{e^{(a+b)t}\}(s)=\frac{1}{s-(a+b)},\qquad \mathcal{L}\{e^{(a-b)t}\}(s)=\frac{1}{s-(a-b)},
com as condições \operatorname{Re}(s)>a+b e \operatorname{Re}(s)>a-b, respectivamente.
Portanto
\mathcal{L}\{f(t)\}(s) =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-(a+b)}+\frac{1}{s-(a-b)}\right).

Passo 6

Simplificamos a soma de frações. Faça o denominador comum e some numeradores:
\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-(a+b)}+\frac{1}{s-(a-b)}\right) =\frac{1}{2}\cdot\frac{(s-(a-b))+(s-(a+b))}{(s-(a+b))(s-(a-b))}.
No numerador:
(s-(a-b))+(s-(a+b))=2(s-a).
No denominador reconhece-se uma diferença de quadrados:
(s-(a+b))(s-(a-b))=(s-a-b)(s-a+b)=(s-a)^2-b^2.
Assim a expressão fica
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\frac{1}{2}\cdot\frac{2(s-a)}{(s-a)^2-b^2} =\frac{s-a}{(s-a)^2-b^2}.

Passo 7

Precisamos explicitar a região de convergência (condição em s). Como a transformada foi obtida somando duas transformadas de e^{(a+b)t} e e^{(a-b)t}, exige-se simultaneamente
\operatorname{Re}(s)>a+b\quad\text{e}\quad \operatorname{Re}(s)>a-b.
Para a,b reais isso equivale a
\operatorname{Re}(s)>a+|b|.
Portanto a fórmula obtida vale para \operatorname{Re}(s)>a+|b|.
Dica rápida: essa condição vem do fato de que o termo com maior crescimento exponencial (entre e^{(a+b)t} e e^{(a-b)t}) domina a convergência; o maior expoente é a+|b|.

Resposta

\mathcal{L}\{e^{a t}\operatorname{cosh} b t\}(s)=\frac{s-a}{(s-a)^2-b^2}
\text{Região de convergência: }\operatorname{Re}(s)>a+|b|ãê

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