Lembre-se que
e
. Encontre a transformada de Laplace da função dada;
e
são constantes reais.
Questão 19 (9-6.1):
Questão 19 (9-6.1):
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a sua transformada de Laplace. Informação fornecida:
- A função é
onde e são constantes reais. - Foi lembrada a identidade
.
O que se pede: encontrar
, ou seja, a expressão da transformada de Laplace de
em função da variável de Laplace
. Também é importante indicar para quais valores de
a transformada converge.
Passo 2
Vamos usar a identidade dada para escrever
como soma de exponenciais. Isto transforma o produto
numa soma de exponenciais simples, que é o que a gente sabe transformar com facilidade.
Relembre: a identidade é
Passo 3
Aplicando a identidade dentro de
obtemos uma decomposição simples:
Aqui cada expoente é uma constante multiplicando
: os dois termos são exponenciais do tipo
com
e
.
Passo 4
Agora lembramos a definição e uma fórmula básica da transformada de Laplace.
Definição (forma útil): para uma função
adequada, a transformada de Laplace é
onde
é a variável complexa da transformada.
Fórmula fundamental que vamos usar (e que pode ser obtida integrando a definição):
para constante real (ou complexa) vale, quando a integral convergir,
para constante
com condição de convergência
. Aqui
significa parte real.
Explicando passo a passo essa integração: a integral de
é
se
; aqui
. Portanto a fórmula acima é válida quando
, isto é
.
Passo 5
Usando linearidade da transformada (a transformada de uma soma é a soma das transformadas, e constantes saem fora), aplicamos a
:
Pelo resultado do passo anterior,
com as condições
e
, respectivamente.
Portanto
Passo 6
Simplificamos a soma de frações. Faça o denominador comum e some numeradores:
No numerador:
No denominador reconhece-se uma diferença de quadrados:
Assim a expressão fica
Passo 7
Precisamos explicitar a região de convergência (condição em
). Como a transformada foi obtida somando duas transformadas de
e
, exige-se simultaneamente
Para
reais isso equivale a
Portanto a fórmula obtida vale para
.
Dica rápida: essa condição vem do fato de que o termo com maior crescimento exponencial (entre
e
) domina a convergência; o maior expoente é
.