Descreva a diretriz e a direção de duas geratrizes para a seguinte superfície em \mathbb{R}^{3} :
y=e^{x}

Passo 1

O enunciado dá a superfície
S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3} \mid y=e^{x}\}
e pede que eu descreva a diretriz e a direção de duas geratrizes (rulings) dessa superfície. Informações relevantes que temos:
  • A equação relaciona apenas x e y; não há nenhuma dependência de z.
  • Precisamos identificar uma curva que funcione como diretriz e escrever duas retas (geratrizes) que pertencem à superfície, indicando suas direções.

Passo 2

O que é uma superfície rétil (regra básica, sem jargão complicado):
  • Uma geratriz (ou ruling) é uma reta contida na superfície.
  • Uma diretriz é uma curva cuja translação ao longo de uma direção fixa gera a superfície (no caso de um cilindro, a diretriz é a curva base no plano e as geratrizes são retas paralelas entre si).
    Observação prática: se a equação da superfície não envolve uma coordenada (aqui, z), isso costuma indicar que para cada ponto da curva no plano z=0 existe uma reta paralela ao eixo faltante inteiramente contida na superfície.

Passo 3

Examinar a equação para ver como z aparece (ou NÃO aparece). A equação é y=e^{x}; note que não há z. Fixando um valor x=x_{0} obtemos
y=e^{x_{0}}
para todo z\in\mathbb{R}. Logo, para cada x_{0} a reta
\ell_{x_{0}}=\{(x_{0},e^{x_{0}},z)\mid z\in\mathbb{R}\}
está contida em S. Essa reta é uma geratriz: é uma reta (variando z linearmente) e todo ponto dela satisfaz y=e^{x}.

Passo 4

Identificar a diretriz: escolha a curva obtida ao pôr z=0. Defino
\alpha(t)=(t,e^{t},0),\qquad t\in\mathbb{R},
que é uma curva no plano z=0. Essa curva é uma diretriz natural: ao traduzir cada ponto \alpha(t) na direção do eixo z (isto é, adicionar vetores da forma s(0,0,1)) obtemos toda a superfície. Em fórmulas:
S=\{\alpha(t)+s(0,0,1)\mid t\in\mathbb{R},\\ s\in\mathbb{R}\}.
Portanto S é um cilindro cuja diretriz é \alpha(t) e cujas geratrizes são retas paralelas ao vetor (0,0,1).

Passo 5

Escrever duas geratrizes concretas (escolho x_{0}=0 e x_{0}=1 como exemplos):
  • Para x_{0}=0 a geratriz é
\ell_{0}(s)=(0,e^{0},s)=(0,1,s),\qquad s\in\mathbb{R},
com direção dada pelo vetor
\vec{v}=(0,0,1).
  • Para x_{0}=1 a geratriz é
\ell_{1}(s)=(1,e^{1},s)=(1,e,s),\qquad s\in\mathbb{R},
com a mesma direção
\vec{v}=(0,0,1).
Explicação curta: ambas são retas verticais (paralelas ao eixo z) que passam pelos pontos (0,1,0) e (1,e,0) respectivamente; variando s percorre-se toda a reta e todos os pontos satisfazem y=e^{x}.

Passo 6

Resumo conceitual final e dica para prova: sempre que uma equação de superfície não envolve uma das coordenadas, procure retas paralelas a esse eixo como geratrizes. A diretriz pode ser obtida fixando essa coordenada (aqui z=0) e parametrizando a curva resultante (aqui \alpha(t)=(t,e^{t},0)). As geratrizes são então \alpha(t)+s(0,0,1).

Resposta

Diretriz: \alpha(t)=(t,e^{t},0),\\ t\in\mathbb{R}.
Duas geratrizes (exemplos): \ell_{0}(s)=(0,1,s),\\ s\in\mathbb{R}, e \ell_{1}(s)=(1,e,s),\\ s\in\mathbb{R}.
Direção comum das geratrizes: (0,0,1).

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