Descreva a diretriz e a direção de duas geratrizes para a seguinte superfície em
:
Passo 1
O enunciado dá a superfície
e pede que eu descreva a diretriz e a direção de duas geratrizes (rulings) dessa superfície. Informações relevantes que temos:
- A equação relaciona apenas
e ; não há nenhuma dependência de . - Precisamos identificar uma curva que funcione como diretriz e escrever duas retas (geratrizes) que pertencem à superfície, indicando suas direções.
Passo 2
O que é uma superfície rétil (regra básica, sem jargão complicado):
- Uma geratriz (ou ruling) é uma reta contida na superfície.
- Uma diretriz é uma curva cuja translação ao longo de uma direção fixa gera a superfície (no caso de um cilindro, a diretriz é a curva base no plano e as geratrizes são retas paralelas entre si).
Observação prática: se a equação da superfície não envolve uma coordenada (aqui,), isso costuma indicar que para cada ponto da curva no plano existe uma reta paralela ao eixo faltante inteiramente contida na superfície.
Passo 3
Examinar a equação para ver como
aparece (ou NÃO aparece). A equação é
; note que não há
. Fixando um valor
obtemos
para todo
. Logo, para cada
a reta
está contida em
. Essa reta é uma geratriz: é uma reta (variando
linearmente) e todo ponto dela satisfaz
.
Passo 4
Identificar a diretriz: escolha a curva obtida ao pôr
. Defino
que é uma curva no plano
. Essa curva é uma diretriz natural: ao traduzir cada ponto
na direção do eixo
(isto é, adicionar vetores da forma
) obtemos toda a superfície. Em fórmulas:
Portanto
é um cilindro cuja diretriz é
e cujas geratrizes são retas paralelas ao vetor
.
Passo 5
Escrever duas geratrizes concretas (escolho
e
como exemplos):
- Para
a geratriz é
com direção dada pelo vetor
- Para
a geratriz é
com a mesma direção
Explicação curta: ambas são retas verticais (paralelas ao eixo
) que passam pelos pontos
e
respectivamente; variando
percorre-se toda a reta e todos os pontos satisfazem
.
Passo 6
Resumo conceitual final e dica para prova: sempre que uma equação de superfície não envolve uma das coordenadas, procure retas paralelas a esse eixo como geratrizes. A diretriz pode ser obtida fixando essa coordenada (aqui
) e parametrizando a curva resultante (aqui
). As geratrizes são então
.
Resposta
Diretriz:
Duas geratrizes (exemplos): e
Direção comum das geratrizes:
Duas geratrizes (exemplos):
Direção comum das geratrizes: