2^{\text {a }} Questão - [Vale 2,0 pontos] Determine os valores de a e b que tornam a função
f(x)=\left\{\begin{array}{cl} \frac{x^{2}+a x+3}{x-1}, & \text { se } x<1 \\\ b x-4, & \text { se } x \geq 1 \end{array}\right.
continua em todos os números reais.

Passo 1

O enunciado pede: determinar os valores de a e b que tornam a função
f(x)=\left\{\begin{array}{cl} \displaystyle\frac{x^{2}+a x+3}{x-1}, & \text{se } x<1,\\[6pt] b x-4, & \text{se } x\geq 1 \end{array}\right.
contínua em todos os números reais.
Informações relevantes dadas:
  • A função é dada por duas expressões: uma razão racional para x<1 e uma reta para x\geq1.
  • O ponto potencial de descontinuidade é x=1, porque a primeira expressão tem denominador x-1 que se anula em x=1.
  • Os parâmetros desconhecidos são a (na parte racional) e b (na parte linear). Devemos escolher a e b para que f seja contínua para todo x\in\mathbb{R}.]

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado de forma direta):
  • Uma função é contínua em todo ponto se, em cada ponto x_0, o limite \lim_{x\to x_0} f(x) existe e é igual a f(x_0).
  • Para uma função por partes, o ponto crítico é onde a definição muda — aqui, x_0=1. Então precisamos que
\lim_{x\to 1^-} f(x)=\lim_{x\to 1^+} f(x)=f(1).
  • Observação prática: para x<1 a expressão é uma função racional (polinômio sobre polinômio), contínua em todo ponto do seu domínio (todos x\neq1). Para x\ge1 a expressão é linear, contínua em todo \mathbb{R}. Portanto, a única verificação necessária é em x=1.

Passo 3

Analisando a situação à esquerda de 1:
  • A expressão para x<1 é \dfrac{x^{2}+a x+3}{x-1}.
  • Ao fazer x\to1 essa expressão tem denominador que tende a 0. Para o limite lateral \lim_{x\to1^-} ser finito (não infinito), a razão precisa ter o numerador também tendendo a 0 em x=1, isto é, o numerador deve ter x-1 como fator.
  • Portanto exigimos que o numerador se anule em x=1. Isso dá uma equação para a.
Calcule o numerador em x=1:
1^2 + a\cdot 1 + 3 = 1 + a + 3 = a+4.
Para anular, precisamos de
a+4=0 \quad\Rightarrow\quad a=-4.

Passo 4

Explicando por que fizemos isso (um mini-aula prática):
  • Se \lim_{x\to1^-}\dfrac{N(x)}{x-1} for finito, então N(1)=0. Caso contrário, o limite lateral seria \pm\infty e a função não seria contínua em 1.
  • Então escolhemos a para cancelar a raiz no denominador, ou seja, para que x-1 seja fator do numerador.

Passo 5

Com a=-4, simplificamos a expressão do numerador e a razão (mostrando fatoração passo a passo):
  • Substituindo a=-4 no numerador:
x^{2}+a x+3 = x^{2}-4x+3.
  • Fatorando o polinômio:
x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3).
  • Então, para x\neq1 (em particular para x<1) a razão simplifica:
\frac{x^{2}-4x+3}{x-1}=\frac{(x-1)(x-3)}{x-1}=x-3.
  • Conclusão prática: o ramo à esquerda de 1 é igual a x-3 (quando a=-4), exceto que originalmente não definida em x=1; mas o limite existe e vale o valor de x-3 avaliado em 1.

Passo 6

Calcular o limite à esquerda em x=1:
\lim_{x\to1^-}\frac{x^{2}+a x+3}{x-1}=\lim_{x\to1^-}(x-3)=1-3=-2.
Portanto, para a=-4 temos \lim_{x\to1^-}f(x)=-2.

Passo 7

Agora a direita e o valor em 1:
  • Para x\ge1 a função é f(x)=b x-4. Em particular, o valor em x=1 é
f(1)=b\cdot 1-4=b-4.
  • A continuidade em 1 exige que o limite à esquerda (que já vimos ser -2) seja igual a f(1). Ou seja:
b-4 = -2.
  • Resolvendo para b:
b = -2+4 = 2.

Passo 8

Resumo final do raciocínio (rápido):
  • Para evitar singularidade infinita no limite à esquerda, ajustamos a de modo que o numerador se anule em x=1: a=-4.
  • Com a=-4 o ramo esquerdo simplifica para x-3, cujo limite em 1 é -2.
  • Igualando esse limite ao valor da peça direita em 1, obtemos b-4=-2 e assim b=2.
  • Com \,a=-4 e \,b=2 a função é contínua em todo \mathbb{R}.

Resposta

a=-4
b=2

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