A função é dada por duas expressões: uma razão racional para x<1 e uma reta para x\geq1.
O ponto potencial de descontinuidade é x=1, porque a primeira expressão tem denominador x-1 que se anula em x=1.
Os parâmetros desconhecidos são a (na parte racional) e b (na parte linear). Devemos escolher a e b para que f seja contínua para todo x\in\mathbb{R}.]
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado de forma direta):
Uma função é contínua em todo ponto se, em cada ponto x_0, o limite \lim_{x\to x_0} f(x) existe e é igual a f(x_0).
Para uma função por partes, o ponto crítico é onde a definição muda — aqui, x_0=1. Então precisamos que
\lim_{x\to 1^-} f(x)=\lim_{x\to 1^+} f(x)=f(1).
Observação prática: para x<1 a expressão é uma função racional (polinômio sobre polinômio), contínua em todo ponto do seu domínio (todos x\neq1). Para x\ge1 a expressão é linear, contínua em todo \mathbb{R}. Portanto, a única verificação necessária é em x=1.
Passo 3
Analisando a situação à esquerda de 1:
A expressão para x<1 é \dfrac{x^{2}+a x+3}{x-1}.
Ao fazer x\to1 essa expressão tem denominador que tende a 0. Para o limite lateral \lim_{x\to1^-} ser finito (não infinito), a razão precisa ter o numerador também tendendo a 0 em x=1, isto é, o numerador deve ter x-1 como fator.
Portanto exigimos que o numerador se anule em x=1. Isso dá uma equação para a.
Calcule o numerador em x=1:
1^2 + a\cdot 1 + 3 = 1 + a + 3 = a+4.
Para anular, precisamos de
a+4=0 \quad\Rightarrow\quad a=-4.
Passo 4
Explicando por que fizemos isso (um mini-aula prática):
Se \lim_{x\to1^-}\dfrac{N(x)}{x-1} for finito, então N(1)=0. Caso contrário, o limite lateral seria \pm\infty e a função não seria contínua em 1.
Então escolhemos a para cancelar a raiz no denominador, ou seja, para que x-1 seja fator do numerador.
Passo 5
Com a=-4, simplificamos a expressão do numerador e a razão (mostrando fatoração passo a passo):
Substituindo a=-4 no numerador:
x^{2}+a x+3 = x^{2}-4x+3.
Fatorando o polinômio:
x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3).
Então, para x\neq1 (em particular para x<1) a razão simplifica:
Conclusão prática: o ramo à esquerda de 1 é igual a x-3 (quando a=-4), exceto que originalmente não definida em x=1; mas o limite existe e vale o valor de x-3 avaliado em 1.