Questão - [Vale 2,0 pontos] Encontre, se existirem, as assintotas horizontais e verticais da função
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar, se existirem, as assíntotas horizontais e verticais. Informações relevantes do enunciado:
- A função está escrita com valor absoluto em
. - O denominador
anula-se quando , ou seja, em e . Esses pontos não pertencem ao domínio e são candidatos a assíntotas verticais. - As assíntotas horizontais são dadas por limites laterais em infinito: limites de
quando e .
Passo 2
Primeiro passo prático: eliminar o valor absoluto escrevendo a função por partes (essa é uma técnica padrão para funções com
). Lembrando que
se
e
se
. Assim:
- Se
:
- Se
:
Ter a forma por partes facilita calcular limites em pontos e em infinito.
Passo 3
Definição prática usada para assíntota vertical: um ponto
é assíntota vertical se pelo menos uma das duas limites laterais
ou
divergir para
ou
. Já para assíntota horizontal: se
(finito) então
é assíntota horizontal à direita; análogo para
.
Vamos aplicar essas definições aos candidatos
e
, e aos limites em
.
Passo 4
Análise em
. Para
próximo de
temos
, então usamos a forma
Calcule as duas retas limites:
- Para
(pela esquerda): o numerador tende a e o denominador tende a (pequeno negativo). Assim a fração fica com sinal positivo dividido por pequeno número negativo, logo
- Para
(pela direita): o numerador tende a e o denominador tende a (pequeno positivo), então
Como pelo menos uma das laterais diverge (na verdade ambas divergem, com sinais opostos),
é uma assíntota vertical.
Passo 5
Análise em
. Para
próximo de
temos
, então usamos a forma
Calcule as duas retas limites:
- Para
(pela esquerda, ou seja ): (denominador pequeno negativo) e (numerador negativo aproximando de ). Então é ; com o sinal menos à frente,
- Para
(pela direita, ): (denominador pequeno positivo) e (numerador negativo), então ; aplicando o menos:
Ambas as laterais divergem (com sinais opostos), logo
também é assíntota vertical.
Passo 6
Resumo parcial das verticais: foram confirmadas assíntotas verticais em
e
, porque em cada ponto pelo menos uma das limites laterais diverge para infinito.
Passo 7
Agora as assíntotas horizontais: calculemos os limites em infinito. Como a função é por partes, avaliamos
usando a expressão para
e
usando a expressão para
.
Para
, use
Dividindo numerador e denominador por
(técnica padrão para limites racionales em infinito):
Quando
,
e
, então
Portanto existe assíntota horizontal à direita
.
Passo 8
Para
, use
Novamente dividindo por
:
Quando
,
e
, então
Portanto existe assíntota horizontal à esquerda
.
Passo 9
Interpretação final: a função tem duas assíntotas verticais (em
e
) e duas assíntotas horizontais distintas (uma para
e outra para
). É perfeitamente normal uma função ter assíntota horizontal à direita diferente da assíntota horizontal à esquerda.