4^{\mathrm{a}} Questão - [Vale 2,0 pontos] Encontre, se existirem, as assintotas horizontais e verticais da função
f(x)=\frac{x+1}{|x|-2}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x+1}{|x|-2}
e pede para encontrar, se existirem, as assíntotas horizontais e verticais. Informações relevantes do enunciado:
  • A função está escrita com valor absoluto em |x|.
  • O denominador |x|-2 anula-se quando |x|=2, ou seja, em x=2 e x=-2. Esses pontos não pertencem ao domínio e são candidatos a assíntotas verticais.
  • As assíntotas horizontais são dadas por limites laterais em infinito: limites de f(x) quando x\to+\infty e x\to-\infty.

Passo 2

Primeiro passo prático: eliminar o valor absoluto escrevendo a função por partes (essa é uma técnica padrão para funções com |x|). Lembrando que |x|=x se x\ge0 e |x|=-x se x<0. Assim:
  • Se x\ge0:
f(x)=\frac{x+1}{x-2}.
  • Se x<0:
f(x)=\frac{x+1}{-x-2} = -\frac{x+1}{x+2}.
Ter a forma por partes facilita calcular limites em pontos e em infinito.

Passo 3

Definição prática usada para assíntota vertical: um ponto a é assíntota vertical se pelo menos uma das duas limites laterais \lim_{x\to a^-}f(x) ou \lim_{x\to a^+}f(x) divergir para +\infty ou -\infty. Já para assíntota horizontal: se \lim_{x\to+\infty}f(x)=L (finito) então y=L é assíntota horizontal à direita; análogo para x\to-\infty.
Vamos aplicar essas definições aos candidatos x=2 e x=-2, e aos limites em \pm\infty.

Passo 4

Análise em x=2. Para x próximo de 2 temos x\ge0, então usamos a forma
f(x)=\frac{x+1}{x-2}.
Calcule as duas retas limites:
  • Para x\to2^- (pela esquerda): o numerador tende a 2+1=3>0 e o denominador tende a 0^- (pequeno negativo). Assim a fração fica com sinal positivo dividido por pequeno número negativo, logo
\lim_{x\to2^-}f(x)=-\infty.
  • Para x\to2^+ (pela direita): o numerador tende a 3>0 e o denominador tende a 0^+ (pequeno positivo), então
\lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty.
Como pelo menos uma das laterais diverge (na verdade ambas divergem, com sinais opostos), x=2 é uma assíntota vertical.

Passo 5

Análise em x=-2. Para x próximo de -2 temos x<0, então usamos a forma
f(x)=-\frac{x+1}{x+2}.
Calcule as duas retas limites:
  • Para x\to-2^- (pela esquerda, ou seja x<-2): x+2\to0^- (denominador pequeno negativo) e x+1\to-1 (numerador negativo aproximando de -1). Então (x+1)/(x+2) é (\text{negativo})/(\text{negativo})\to+\infty; com o sinal menos à frente,
\lim_{x\to-2^-}f(x)=-\infty.
  • Para x\to-2^+ (pela direita, -2<x<0): x+2\to0^+ (denominador pequeno positivo) e x+1\to-1 (numerador negativo), então (x+1)/(x+2)\to -\infty; aplicando o menos:
\lim_{x\to-2^+}f(x)=+\infty.
Ambas as laterais divergem (com sinais opostos), logo x=-2 também é assíntota vertical.

Passo 6

Resumo parcial das verticais: foram confirmadas assíntotas verticais em x=2 e x=-2, porque em cada ponto pelo menos uma das limites laterais diverge para infinito.

Passo 7

Agora as assíntotas horizontais: calculemos os limites em infinito. Como a função é por partes, avaliamos x\to+\infty usando a expressão para x\ge0 e x\to-\infty usando a expressão para x<0.
Para x\to+\infty, use
f(x)=\frac{x+1}{x-2}.
Dividindo numerador e denominador por x (técnica padrão para limites racionales em infinito):
\frac{x+1}{x-2}=\frac{1+\tfrac{1}{x}}{1-\tfrac{2}{x}}.
Quando x\to+\infty, \tfrac{1}{x}\to0 e \tfrac{2}{x}\to0, então
\lim_{x\to+\infty}f(x)=\frac{1+0}{1-0}=1.
Portanto existe assíntota horizontal à direita y=1.

Passo 8

Para x\to-\infty, use
f(x)=-\frac{x+1}{x+2}.
Novamente dividindo por x:
-\frac{x+1}{x+2}=-\frac{1+\tfrac{1}{x}}{1+\tfrac{2}{x}}.
Quando x\to-\infty, \tfrac{1}{x}\to0 e \tfrac{2}{x}\to0, então
\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\frac{1+0}{1+0}=-1.
Portanto existe assíntota horizontal à esquerda y=-1.

Passo 9

Interpretação final: a função tem duas assíntotas verticais (em x=-2 e x=2) e duas assíntotas horizontais distintas (uma para +\infty e outra para -\infty). É perfeitamente normal uma função ter assíntota horizontal à direita diferente da assíntota horizontal à esquerda.

Resposta

x=2 é assíntota vertical.
x=-2 é assíntota vertical.
y=1 é assíntota horizontal quando x\to+\infty.
y=-1 é assíntota horizontal quando x\to-\infty.

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