Descreva o domínio e encontre as assíntotas verticais e horizontais das funções abaixo (para assíntotas verticais, calcule ambos os limites laterais):
(a) f(x) = cos(x) / (x - pi)

Passo 1

Então, você me pediu para descrever o domínio e encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função . Vamos usar conceitos de funções racionais, limites e comportamento assintótico para resolver isso.

Passo 2

Dominio da função: O domínio é o conjunto de todos os valores de onde a função está definida. A função tem um denominador . A divisão por zero não é permitida, então precisamos encontrar onde o denominador é igual a zero:
Portanto, a função não está definida quando . Assim, o domínio de é todos os números reais exceto :

Passo 3

Assíntotas Verticais: As assíntotas verticais ocorrem onde a função tende a , geralmente onde o denominador é zero. Já identificamos que faz o denominador zero, então vamos verificar os limites laterais para ver se existe uma assíntota vertical.
Calculando os limites:
Sabemos que . Perto de :
  • Quando se aproxima de pela esquerda ( ), é negativo e pequeno, então tende a .
  • Quando se aproxima de pela direita ( ), é positivo e pequeno, então tende a .
Portanto, existe uma assíntota vertical em .

Passo 4

Assíntotas Horizontais: Para encontrar as assíntotas horizontais, analisamos o comportamento de quando tende a e .
Sabemos que está sempre entre -1 e 1, mesmo quando fica muito grande ou muito pequeno. Já o denominador tende a . Então, a fração tende a zero.
Assim, existe uma assíntota horizontal em .

Resposta

  • Domínio:
  • Assíntota Vertical:
  • Assíntota Horizontal:

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