Descreva os elementos do corpo de frações de
.
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos descrever o corpo de frações de
, ou seja, o menor corpo que contém o anel
Conteúdo usado: definição de corpo de frações de um domínio de integridade e método de multiplicação pelo conjugado para racionalizar denominadores.
Passo 2
Pela definição, um elemento genérico do corpo de frações é a classe de equivalência de um par
com
que identificamos com a “fração”
Passo 3
Para ver que toda fração se reduz a algo da forma
com
, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de
:
No numerador aparece
e o denominador é o inteiro
. Logo
que é da forma
com
.
Passo 4
Concluímos que todo elemento do corpo de frações pode ser escrito unicamente como
onde
são números racionais. É evidente que a soma e o produto desses elementos também permanecem nesta forma, e obtemos um corpo.
Resposta
O corpo de frações de
é
também denotado por
.