Descreva os elementos do corpo de frações de \mathbb{Z}[\sqrt{3}].

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos descrever o corpo de frações de \mathbb{Z}[\sqrt{3}], ou seja, o menor corpo que contém o anel
\mathbb{Z}[\sqrt{3}] = \{a + b\sqrt{3} \mid a,b\in\mathbb{Z}\}.
Conteúdo usado: definição de corpo de frações de um domínio de integridade e método de multiplicação pelo conjugado para racionalizar denominadores.

Passo 2

Pela definição, um elemento genérico do corpo de frações é a classe de equivalência de um par (x,y) com
x = a + b\sqrt{3},\quad y = c + d\sqrt{3},\quad a,b,c,d\in\mathbb{Z},\quad y\neq0,
que identificamos com a “fração”
\frac{x}{y} = \frac{a + b\sqrt{3}}{c + d\sqrt{3}}.

Passo 3

Para ver que toda fração se reduz a algo da forma u+v\sqrt{3} com u,v\in\mathbb{Q}, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de y:
\frac{a + b\sqrt{3}}{c + d\sqrt{3}} \cdot \frac{c - d\sqrt{3}}{c - d\sqrt{3}} = \frac{(a+b\sqrt{3})(c - d\sqrt{3})}{c^2 - 3d^2}.
No numerador aparece
(a+b\sqrt{3})(c - d\sqrt{3}) =ac - 3bd \;+\;(bc - ad)\sqrt{3},
e o denominador é o inteiro c^2 - 3d^2\neq0. Logo
\frac{a + b\sqrt{3}}{c + d\sqrt{3}} =\frac{ac-3bd}{c^2-3d^2} \;+\; \frac{bc-ad}{c^2-3d^2}\,\sqrt{3},
que é da forma u + v\sqrt{3} com u,v\in\mathbb{Q}.

Passo 4

Concluímos que todo elemento do corpo de frações pode ser escrito unicamente como
u + v\sqrt{3},
onde u,v são números racionais. É evidente que a soma e o produto desses elementos também permanecem nesta forma, e obtemos um corpo.

Resposta

O corpo de frações de \mathbb{Z}[\sqrt{3}] é
\{\,u + v\sqrt{3}\mid u,v\in\mathbb{Q}\},
também denotado por \mathbb{Q}(\sqrt{3}).

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