Descreva e esboce o domínio da função
.
Descreva as curvas de nível da função
.
Descreva as curvas de nível da função
Passo 1
O enunciado pede duas coisas separadas:
- Descrever e esboçar o domínio da função
. - Descrever as curvas de nível da função
.
As informações dadas explicitamente são as duas fórmulas acima. Não há figura adicional enviada.
Passo 2
Começamos analisando a primeira função e quais restrições o enunciado impõe (vamos fazer isso devagarinho, passo a passo).
Uma raiz quadrada
exige que o radicando seja não negativo. Assim precisamos de
Uma função logarítmica
exige que o argumento
seja estritamente positivo. No denominador temos
, então
Além disso, o logaritmo no denominador não pode ser zero (porque não podemos dividir por zero). Logo precisamos também que
o que equivale a
Passo 3
Agora combinamos as três condições obtidas no passo anterior.
A condição da raiz dá
A condição do logaritmo dá
A condição de não anular o denominador dá
Portanto o domínio
da função é o conjunto dos pontos
que satisfazem simultaneamente
Podemos escrever isso em notação conjuntista como
Passo 4
Interpretação geométrica — vamos entender cada condição geometricamente (aqui eu explico com calma para você conseguir desenhar na prova).
-
A curva
é uma parábola voltada para cima; a condição significa “a região acima da parábola”, incluindo a própria parábola (porque usamos ). -
A equação
é o círculo de raio centrado na origem. A desigualdade significa “o exterior desse círculo” (a borda NÃO está incluída, pois é estrita). -
A equação
é o círculo de raio . Devemos excluir todos os pontos desse círculo porque aí e o denominador seria zero.
Assim, o domínio é a interseção da região acima da parábola com o exterior do círculo unitário, retirando todos os pontos do círculo de raio
que por acaso estivessem nessa interseção.
Passo 5
Pontos e interseções importantes (úteis para esboçar com precisão):
- Interseção parábola × círculo unitário: resolver
e . Com obtemos
Se fizermos
isso dá
com solução positiva
Logo
e
. Isso mostra que a parábola cruza o círculo unitário em dois pontos aproximadamente
. Para
a parábola está fora do círculo unitário, para
está dentro.
- Interseção parábola × círculo de raio
: resolver e . Com temos ou . As soluções são (e descartada). Assim , . Portanto a parábola encontra o círculo de raio em . Esses dois pontos precisam ser excluídos do domínio (mesmo sendo pontos da parábola).
Passo 6
Como esboçar o domínio na prova (instruções passo a passo de desenho):
- Desenhe os eixos
e . - Desenhe a parábola
(abertura para cima). Marque claramente a região acima dela. - Desenhe o círculo de raio
centrado na origem (linha sólida, mas lembre que a borda não está incluída). Sombras/indicações: a região permitida fica fora desse círculo. - Desenhe o círculo de raio
(maior). Indique que todos os pontos sobre esse círculo estão proibidos (por exemplo riscar a linha do círculo ou marcar com pontos abertos). - A região válida é a parte que fica tanto acima da parábola quanto fora do círculo unitário. Se algum pedaço dessa interseção estiver exatamente sobre o círculo de raio
, remova-o (por exemplo os pontos na parábola são excluídos). - Na parábola, mantenha as porções que satisfazem
(ou seja, as duas “asas” da parábola para ), exceto os pontos que ficam no círculo e são excluídos.
Dica: um ponto simples do domínio é
porque
e
. Um ponto que não está no domínio é
(pois
), e
também não está porque
anula o denominador.
Passo 7
Agora vamos à segunda parte: curvas de nível de
.
Primeiro: o que é uma curva de nível? Para uma função
, a curva de nível associada a um valor constante
é o conjunto
No nosso caso queremos resolver
Aplicando a exponencial (ou invertendo o
), obtemos imediatamente
Passo 8
Interpretação geométrica da equação obtida:
- Para cada número real
a constante é positiva, então a curva de nível é a elipse centrada na origem dada por
- Podemos escrever essa elipse em forma padrão dividindo por
:
Isso mostra que os semi-eixos são
- Portanto cada curva de nível é uma elipse centrada na origem, com semieixo em
duas vezes maior que o semieixo em (ou seja, alongada na direção ).
Passo 9
Exemplos e comportamento:
- Se
então e a curva de nível é (elipse de semi-eixos e ). - Se
então e a curva é (semi-eixos e ). - À medida que
temos e as elipses encolhem até se reduzirem ao ponto . - À medida que
as elipses crescem indefinidamente.
Concluindo: as curvas de nível formam uma família de elipses concêntricas, todas alinhadas com os eixos e com a razão de eixos
.
Resposta
As curvas de nível de