Descreva e esboce o domínio da função f(x, y)=\frac{\sqrt{y-x^{2}}}{\ln \left(x^{2}+y^{2}-1\right)}.
Descreva as curvas de nível da função f(x, y)=\ln \left(x^{2}+4 y^{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas separadas:
  1. Descrever e esboçar o domínio da função \displaystyle f(x,y)=\frac{\sqrt{y-x^{2}}}{\ln\!\bigl(x^{2}+y^{2}-1\bigr)}.
  2. Descrever as curvas de nível da função \displaystyle g(x,y)=\ln\!\bigl(x^{2}+4y^{2}\bigr).
As informações dadas explicitamente são as duas fórmulas acima. Não há figura adicional enviada.

Passo 2

Começamos analisando a primeira função e quais restrições o enunciado impõe (vamos fazer isso devagarinho, passo a passo).
Uma raiz quadrada \sqrt{\cdot} exige que o radicando seja não negativo. Assim precisamos de
y-x^{2}\ge 0.
Uma função logarítmica \ln(t) exige que o argumento t seja estritamente positivo. No denominador temos \ln\!\bigl(x^{2}+y^{2}-1\bigr), então
x^{2}+y^{2}-1>0.
Além disso, o logaritmo no denominador não pode ser zero (porque não podemos dividir por zero). Logo precisamos também que
\ln\!\bigl(x^{2}+y^{2}-1\bigr)\neq 0,
o que equivale a
x^{2}+y^{2}-1\neq 1 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+y^{2}\neq 2.

Passo 3

Agora combinamos as três condições obtidas no passo anterior.
A condição da raiz dá
y\ge x^{2}.
A condição do logaritmo dá
x^{2}+y^{2}>1.
A condição de não anular o denominador dá
x^{2}+y^{2}\neq 2.
Portanto o domínio D da função é o conjunto dos pontos (x,y) que satisfazem simultaneamente
y\ge x^{2},\qquad x^{2}+y^{2}>1,\qquad x^{2}+y^{2}\neq 2.
Podemos escrever isso em notação conjuntista como
D=\bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y\ge x^{2},\; x^{2}+y^{2}>1\bigr\}\setminus\bigl\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}=2\bigr\}.

Passo 4

Interpretação geométrica — vamos entender cada condição geometricamente (aqui eu explico com calma para você conseguir desenhar na prova).
  • A curva \;y=x^{2}\; é uma parábola voltada para cima; a condição y\ge x^{2} significa “a região acima da parábola”, incluindo a própria parábola (porque usamos \ge).
  • A equação \;x^{2}+y^{2}=1\; é o círculo de raio 1 centrado na origem. A desigualdade x^{2}+y^{2}>1 significa “o exterior desse círculo” (a borda x^{2}+y^{2}=1 NÃO está incluída, pois é estrita).
  • A equação \;x^{2}+y^{2}=2\; é o círculo de raio \sqrt{2}. Devemos excluir todos os pontos desse círculo porque aí \ln(\cdot)=0 e o denominador seria zero.
Assim, o domínio é a interseção da região acima da parábola com o exterior do círculo unitário, retirando todos os pontos do círculo de raio \sqrt{2} que por acaso estivessem nessa interseção.

Passo 5

Pontos e interseções importantes (úteis para esboçar com precisão):
  • Interseção parábola × círculo unitário: resolver y=x^{2} e x^{2}+y^{2}=1. Com y=x^{2} obtemos
x^{2}+x^{4}=1.
Se fizermos t=x^{2} isso dá t^{2}+t-1=0 com solução positiva
t=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\approx 0{,}618.
Logo x=\pm\sqrt{t}\approx\pm0{,}786 e y=x^{2}\approx 0{,}618. Isso mostra que a parábola cruza o círculo unitário em dois pontos aproximadamente (\pm0{,}786,\;0{,}618). Para |x|>\,0{,}786 a parábola está fora do círculo unitário, para |x|<0{,}786 está dentro.
  • Interseção parábola × círculo de raio \sqrt{2}: resolver y=x^{2} e x^{2}+y^{2}=2. Com t=x^{2} temos t+t^{2}=2 ou t^{2}+t-2=0. As soluções são t=1 (e t=-2 descartada). Assim x=\pm1, y=1. Portanto a parábola encontra o círculo de raio \sqrt{2} em (\pm1,1). Esses dois pontos precisam ser excluídos do domínio (mesmo sendo pontos da parábola).

Passo 6

Como esboçar o domínio na prova (instruções passo a passo de desenho):
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Desenhe a parábola y=x^{2} (abertura para cima). Marque claramente a região acima dela.
  3. Desenhe o círculo de raio 1 centrado na origem (linha sólida, mas lembre que a borda não está incluída). Sombras/indicações: a região permitida fica fora desse círculo.
  4. Desenhe o círculo de raio \sqrt{2} (maior). Indique que todos os pontos sobre esse círculo estão proibidos (por exemplo riscar a linha do círculo ou marcar com pontos abertos).
  5. A região válida é a parte que fica tanto acima da parábola quanto fora do círculo unitário. Se algum pedaço dessa interseção estiver exatamente sobre o círculo de raio \sqrt{2}, remova-o (por exemplo os pontos (\pm1,1) na parábola são excluídos).
  6. Na parábola, mantenha as porções que satisfazem x^{2}+x^{4}>1 (ou seja, as duas “asas” da parábola para |x|>0{,}786), exceto os pontos (\pm1,1) que ficam no círculo x^{2}+y^{2}=2 e são excluídos.
Dica: um ponto simples do domínio é (0,2) porque 2\ge 0 e 0^{2}+2^{2}=4>1. Um ponto que não está no domínio é (0,0) (pois 0^{2}+0^{2}=0\not>1), e (1,1) também não está porque 1^{2}+1^{2}=2 anula o denominador.

Passo 7

Agora vamos à segunda parte: curvas de nível de \displaystyle g(x,y)=\ln\!\bigl(x^{2}+4y^{2}\bigr).
Primeiro: o que é uma curva de nível? Para uma função g(x,y), a curva de nível associada a um valor constante c é o conjunto
\{(x,y)\mid g(x,y)=c\}.
No nosso caso queremos resolver
\ln\!\bigl(x^{2}+4y^{2}\bigr)=c.
Aplicando a exponencial (ou invertendo o \ln), obtemos imediatamente
x^{2}+4y^{2}=e^{c}.

Passo 8

Interpretação geométrica da equação obtida:
  • Para cada número real c a constante e^{c} é positiva, então a curva de nível é a elipse centrada na origem dada por
x^{2}+4y^{2}=e^{c}.
  • Podemos escrever essa elipse em forma padrão dividindo por e^{c}:
\frac{x^{2}}{e^{c}}+\frac{y^{2}}{e^{c}/4}=1.
Isso mostra que os semi-eixos são
a=\sqrt{e^{c}}\quad\text{(no eixo \(x\))},\qquad b=\sqrt{\frac{e^{c}}{4}}=\frac{\sqrt{e^{c}}}{2}\quad\text{(no eixo \(y\)).}
  • Portanto cada curva de nível é uma elipse centrada na origem, com semieixo em x duas vezes maior que o semieixo em y (ou seja, alongada na direção x).

Passo 9

Exemplos e comportamento:
  • Se c=0 então e^{c}=1 e a curva de nível é x^{2}+4y^{2}=1 (elipse de semi-eixos 1 e 1/2).
  • Se c=\ln 4 então e^{c}=4 e a curva é x^{2}+4y^{2}=4 (semi-eixos 2 e 1).
  • À medida que c\to -\infty temos e^{c}\to 0^{+} e as elipses encolhem até se reduzirem ao ponto (0,0).
  • À medida que c\to +\infty as elipses crescem indefinidamente.
Concluindo: as curvas de nível formam uma família de elipses concêntricas, todas alinhadas com os eixos e com a razão de eixos a:b=2:1.

Resposta

\displaystyle D=\bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y\ge x^{2},\; x^{2}+y^{2}>1\bigr\}\setminus\bigl\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}=2\bigr\}.
As curvas de nível de \displaystyle \ln\!\bigl(x^{2}+4y^{2}\bigr) são as elipses \displaystyle x^{2}+4y^{2}=e^{c} para c\in\mathbb{R}, com semi-eixos \sqrt{e^{c}} (no eixo x) e \tfrac{\sqrt{e^{c}}}{2} (no eixo y).

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