a) Calcule f_{x x}, f_{y y}, f_{x y} e f_{y x} para f(x, y)=x^{4}+x^{2} y^{3}-2 y^{2}.
Calcule todas as segundas derivadas parciais de f(x, y)=\ln \left(x^{2}+y^{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Para f(x,y)=x^{4}+x^{2}y^{3}-2y^{2}: calcular as segundas derivadas parciais \,f_{xx},\,f_{yy},\,f_{xy} e \,f_{yx}.
  • Para f(x,y)=\ln\!\left(x^{2}+y^{2}\right): calcular todas as segundas derivadas parciais (isto é, \,f_{xx},\,f_{yy},\,f_{xy} e \,f_{yx}).
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • As funções explícitas estão dadas; não há pontos especiais nem valores numéricos pedidos, então as derivadas serão expressões em x e y.
  • Para a função \ln\!\left(x^{2}+y^{2}\right) o domínio exige x^{2}+y^{2}>0 (porque o argumento do ln deve ser positivo).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (curtinho e prático):
  • Derivada parcial em relação a x de uma função f(x,y) é a derivada usual considerando y constante; escrevemos \,f_x=\dfrac{\partial f}{\partial x}.
  • Regras básicas de derivação que usaremos:
    • Regra da potência: \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}.
    • Derivada de produto (quando aparece): \dfrac{d}{dx}(u v)=u'v+uv'.
    • Regra da cadeia: se g(x)=\ln(u(x)) então g'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}.
    • Regra do quociente (útil para simplificar): \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{p}{q}\right)=\dfrac{p' q - p q'}{q^{2}}.
  • Observação sobre derivadas mistas: quando todas as derivadas parciais relevantes são contínuas, vale f_{xy}=f_{yx} (Teorema de Clairaut). Verificaremos a igualdade explicitamente.

Passo 3

Vamos calcular para f(x,y)=x^{4}+x^{2}y^{3}-2y^{2} as derivadas parciais de primeira ordem, porque a partir delas obtemos as segundas.
Derivada parcial em relação a x:
f_x=\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{4}\bigr)+\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}y^{3}\bigr)-\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(2y^{2}\bigr).
Explicando termo a termo (lembre: y é tratado como constante):
\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{4}\bigr)=4x^{3},
\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}y^{3}\bigr)=y^{3}\cdot\dfrac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=y^{3}\cdot 2x=2x y^{3},
\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(2y^{2}\bigr)=0.
Portanto
f_x=4x^{3}+2x y^{3}.
Derivada parcial em relação a y:
f_y=\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{4}\bigr)+\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y^{3}\bigr)-\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(2y^{2}\bigr).
Agora x é constante:
\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{4}\bigr)=0,
\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y^{3}\bigr)=x^{2}\cdot\dfrac{d}{dy}\bigl(y^{3}\bigr)=x^{2}\cdot 3y^{2}=3x^{2}y^{2},
\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(2y^{2}\bigr)=4y.
Portanto
f_y=3x^{2}y^{2}-4y.

Passo 4

Agora calculamos as segundas derivadas a partir de f_x e f_y.
Primeiro \,f_{xx}=\dfrac{\partial}{\partial x}(f_x). Tomando f_x=4x^{3}+2x y^{3}:
f_{xx}=\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(4x^{3}\bigr)+\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(2x y^{3}\bigr).
Calculando:
\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(4x^{3}\bigr)=12x^{2},
\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(2x y^{3}\bigr)=2 y^{3}\\ (\text{porque }y^{3}\text{ é constante em }x).é
Logo
f_{xx}=12x^{2}+2y^{3}.
Agora \,f_{xy}=\dfrac{\partial}{\partial y}(f_x). Lembre f_x=4x^{3}+2x y^{3}:
f_{xy}=\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(4x^{3}\bigr)+\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(2x y^{3}\bigr).
\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(4x^{3}\bigr)=0,
\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(2x y^{3}\bigr)=2x\cdot 3y^{2}=6x y^{2}.
Portanto
f_{xy}=6x y^{2}.
Em seguida \,f_{yy}=\dfrac{\partial}{\partial y}(f_y). Lembre f_y=3x^{2}y^{2}-4y:
f_{yy}=\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{2}y^{2}\bigr)-\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(4y\bigr).
\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{2}y^{2}\bigr)=3x^{2}\cdot 2y=6x^{2}y,
\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(4y\bigr)=4.
Logo
f_{yy}=6x^{2}y-4.
Por fim \,f_{yx}=\dfrac{\partial}{\partial x}(f_y). Com f_y=3x^{2}y^{2}-4y:
f_{yx}=\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{2}y^{2}\bigr)-\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(4y\bigr).
\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{2}y^{2}\bigr)=3\cdot 2x\cdot y^{2}=6x y^{2},
\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(4y\bigr)=0.
Logo
f_{yx}=6x y^{2}.
Observação: notamos que \,f_{xy}=f_{yx}=6x y^{2}, como esperado quando as derivadas são contínuas.

Passo 5

Agora para f(x,y)=\ln\!\left(x^{2}+y^{2}\right) — vou chamar essa função de g(x,y) para ficar mais claro enquanto calculamos.
Primeiro aplicamos a regra da cadeia: se g(x,y)=\ln(u(x,y)) com u(x,y)=x^{2}+y^{2}, então
g_x=\dfrac{u_x}{u} \quad\text{e}\quad g_y=\dfrac{u_y}{u}.
Aqui u_x=2x e u_y=2y. Portanto
g_x=\dfrac{2x}{x^{2}+y^{2}},
g_y=\dfrac{2y}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 6

Agora calculamos as segundas derivadas de g.
Vamos calcular g_{xx}=\dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(\dfrac{2x}{x^{2}+y^{2}}\right). É prático escrever como produto:
g_x=2x\cdot\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{-1}.
Derivando em x usando produto + cadeia:
g_{xx}=2\cdot\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{-1}+2x\cdot\bigl(-1\bigr)\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{-2}\cdot 2x.
Explicando: a derivada de 2x é 2, multiplicada por (x^{2}+y^{2})^{-1}; mais a segunda parte vem da derivada de (x^{2}+y^{2})^{-1} que é -1\cdot (x^{2}+y^{2})^{-2}\cdot (2x).
Agora simplificamos:
g_{xx}=\dfrac{2}{x^{2}+y^{2}}-\dfrac{4x^{2}}{\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{2}}.
Colocando em denominação comum \bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{2}:
g_{xx}=\dfrac{2\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)-4x^{2}}{\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{2}}=\dfrac{2y^{2}-2x^{2}}{\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{2}}.
Fatorando 2:
g_{xx}=\dfrac{2\bigl(y^{2}-x^{2}\bigr)}{\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{2}}.

Passo 7

Agora g_{yy}=\dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(\dfrac{2y}{x^{2}+y^{2}}\right). Pelo mesmo raciocínio (simetria entre x e y):
g_{yy}=\dfrac{2}{x^{2}+y^{2}}-\dfrac{4y^{2}}{\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{2}}=\dfrac{2\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)}{\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{2}}.

Passo 8

Agora a derivada mista g_{xy}=\dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(\dfrac{2x}{x^{2}+y^{2}}\right).
Aqui x é constante; usamos a regra do quociente (ou produto com a cadeia). Aplicando diretamente:
g_{xy}=2x\cdot\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{-1}=2x\cdot\bigl(-1\bigr)\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{-2}\cdot 2y.
Portanto
g_{xy}=-\dfrac{4xy}{\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{2}}.
De forma análoga g_{yx}=\dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(\dfrac{2y}{x^{2}+y^{2}}\right) dá o mesmo:
g_{yx}=-\dfrac{4xy}{\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{2}}.
Confirmamos g_{xy}=g_{yx}.
Lembre que tudo isso vale para \,x^{2}+y^{2}>0 (domínio da função log).

Resposta

f_{xx}=12x^{2}+2y^{3},\quad f_{yy}=6x^{2}y-4,\quad f_{xy}=6x y^{2},\quad f_{yx}=6x y^{2}\n
\;f_{xx}=\dfrac{2\bigl(y^{2}-x^{2}\bigr)}{\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{2}},\quad f_{yy}=\dfrac{2\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)}{\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{2}},\quad f_{xy}= -\dfrac{4xy}{\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{2}},\quad f_{yx}= -\dfrac{4xy}{\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{2}}

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