a) Calcule
e
para
.
Calcule todas as segundas derivadas parciais de
.
Calcule todas as segundas derivadas parciais de
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Para
: calcular as segundas derivadas parciais e . - Para
: calcular todas as segundas derivadas parciais (isto é, e ).
Informações relevantes que o enunciado dá:
- As funções explícitas estão dadas; não há pontos especiais nem valores numéricos pedidos, então as derivadas serão expressões em
e . - Para a função
o domínio exige (porque o argumento do ln deve ser positivo).
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (curtinho e prático):
- Derivada parcial em relação a
de uma função é a derivada usual considerando constante; escrevemos . - Regras básicas de derivação que usaremos:
- Regra da potência:
. - Derivada de produto (quando aparece):
. - Regra da cadeia: se
então . - Regra do quociente (útil para simplificar):
.
- Regra da potência:
- Observação sobre derivadas mistas: quando todas as derivadas parciais relevantes são contínuas, vale
(Teorema de Clairaut). Verificaremos a igualdade explicitamente.
Passo 3
Vamos calcular para
as derivadas parciais de primeira ordem, porque a partir delas obtemos as segundas.
Derivada parcial em relação a
:
Explicando termo a termo (lembre:
é tratado como constante):
Portanto
Derivada parcial em relação a
:
Agora
é constante:
Portanto
Passo 4
Agora calculamos as segundas derivadas a partir de
e
.
Primeiro
. Tomando
:
Calculando:
Logo
Agora
. Lembre
:
Portanto
Em seguida
. Lembre
:
Logo
Por fim
. Com
:
Logo
Observação: notamos que
, como esperado quando as derivadas são contínuas.
Passo 5
Agora para
— vou chamar essa função de
para ficar mais claro enquanto calculamos.
Primeiro aplicamos a regra da cadeia: se
com
, então
Aqui
e
. Portanto
Passo 6
Agora calculamos as segundas derivadas de
.
Vamos calcular
. É prático escrever como produto:
Derivando em
usando produto + cadeia:
Explicando: a derivada de
é
, multiplicada por
; mais a segunda parte vem da derivada de
que é
.
Agora simplificamos:
Colocando em denominação comum
:
Fatorando
:
Passo 7
Agora
. Pelo mesmo raciocínio (simetria entre
e
):
Passo 8
Agora a derivada mista
.
Aqui
é constante; usamos a regra do quociente (ou produto com a cadeia). Aplicando diretamente:
Portanto
De forma análoga
dá o mesmo:
Confirmamos
.
Lembre que tudo isso vale para
(domínio da função log).