a) Calcule f_{x x}, f_{y y}, f_{x y} e f_{y x} para f(x, y)=x^{4}+x^{2} y^{3}-2 y^{2}.
Encontre f_{y y y}(x, y) se f(x, y)=x^{3} y^{4}-2 x^{2} y^{3}+5 x y^{2}.

Passo 1

O enunciado tem duas partes distintas. Vou listar claramente o que cada parte pede e quais são as informações dadas.
Para a parte (a) o enunciado dá a função
f(x,y)=x^{4}+x^{2}y^{3}-2y^{2}
e pede que eu calcule as derivadas parciais de segunda ordem \,f_{xx},\,f_{yy},\,f_{xy} e f_{yx}.
Para a segunda parte o enunciado dá a função
f(x,y)=x^{3}y^{4}-2x^{2}y^{3}+5xy^{2}
e pede que eu encontre a derivada parcial de terceira ordem em relação a y, isto é \,f_{yyy}(x,y).

Passo 2

Antes de começar a calcular, vamos lembrar o conceito e as regras básicas que vou usar (explicação bem mastigada, ok?).
  • Derivada parcial em relação a x, denotada \,f_x ou \partial f/\partial x, significa: diferenciar f como função de x tratando y como constante.
  • Derivada parcial em relação a y, denotada \,f_y ou \partial f/\partial y, significa: diferenciar f como função de y tratando x como constante.
  • Regra do poder (power rule): para uma função do tipo \,g(t)=t^{n} temos \,g'(t)=n t^{n-1}. Se houver um fator constante a, então \,(a t^{n})' = a n t^{n-1}.
  • Se tivermos um produto onde uma parcela é constante em relação à variável que diferenciamos (por exemplo x^{2}y^{3} ao diferenciar em relação a x), tratamos y^{3} como constante e aplicamos a regra do poder só ao fator que depende de x.
Vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Calcular as primeiras derivadas parciais de f(x,y)=x^{4}+x^{2}y^{3}-2y^{2}.
  • Derivada parcial em relação a x:
    f_x=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{4}\big)+\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}y^{3}\big)-\frac{\partial}{\partial x}\big(2y^{2}\big).
    Aplicando a regra do poder e lembrando que y^{3} é constante quando diferenciamos em x:
    f_x=4x^{3}+2x\,y^{3}+0=4x^{3}+2x y^{3}.
  • Derivada parcial em relação a y:
    f_y=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{4}\big)+\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}y^{3}\big)-\frac{\partial}{\partial y}\big(2y^{2}\big).
    Aqui x^{4} é constante e x^{2} é constante em relação a y, então
    f_y=0+ x^{2}\cdot 3y^{2}-2\cdot 2y = 3x^{2}y^{2}-4y.

Passo 4

Agora venho das primeiras derivadas para as derivadas de segunda ordem relacionadas a x.
  • Segunda derivada em relação a x:
    f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\big(f_x\big)=\frac{\partial}{\partial x}\big(4x^{3}+2x y^{3}\big).
    Diferenciando termo a termo (lembrando que y^{3} é constante quando derivamos em x):
    f_{xx}=12x^{2}+2y^{3}.
  • Derivada mista \,f_{xy} (primeiro em x, depois em y):
    f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\big(f_x\big)=\frac{\partial}{\partial y}\big(4x^{3}+2x y^{3}\big).
    Aqui 4x^{3} é constante e \partial/\partial y(2x y^{3})=2x\cdot 3y^{2}. Logo
    f_{xy}=6x y^{2}.

Passo 5

Agora cálculo as segundas derivadas relacionadas a y a partir de f_y.
  • Segunda derivada em relação a y:
    f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\big(f_y\big)=\frac{\partial}{\partial y}\big(3x^{2}y^{2}-4y\big).
    Aplicando a regra do poder com x^{2} tratado como constante:
    f_{yy}=3x^{2}\cdot 2y -4 = 6x^{2}y-4.
  • Derivada mista \,f_{yx} (primeiro em y, depois em x):
    f_{yx}=\frac{\partial}{\partial x}\big(f_y\big)=\frac{\partial}{\partial x}\big(3x^{2}y^{2}-4y\big).
    Diferenciando em x (lembrando que y é constante aqui):
    f_{yx}=6x y^{2}+0 = 6x y^{2}.

Passo 6

Observação importante (útil na prova): comparei \,f_{xy} e \,f_{yx} e ambas deram o mesmo resultado
f_{xy}=6x y^{2}=f_{yx},
o que costuma ocorrer quando as derivadas são contínuas (teorema de Clairaut). Aqui funciona perfeitamente.

Passo 7

Agora passo para a segunda parte: calcular \,f_{yyy}(x,y) para
f(x,y)=x^{3}y^{4}-2x^{2}y^{3}+5xy^{2}.
Vou derivar sucessivamente em relação a y, lembrando que ao derivar em y tratamos x como constante.

Passo 8

Primeira derivada parcial em y:
f_y=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{3}y^{4}\big)-\frac{\partial}{\partial y}\big(2x^{2}y^{3}\big)+\frac{\partial}{\partial y}\big(5xy^{2}\big).
Aplicando a regra do poder com os fatores constantes em x:
f_y= x^{3}\cdot 4y^{3} - 2x^{2}\cdot 3y^{2} + 5x\cdot 2y = 4x^{3}y^{3}-6x^{2}y^{2}+10x y.

Passo 9

Segunda derivada parcial em y:
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\big(f_y\big)=\frac{\partial}{\partial y}\big(4x^{3}y^{3}-6x^{2}y^{2}+10x y\big).
Diferenciando termo a termo:
f_{yy}=4x^{3}\cdot 3y^{2} -6x^{2}\cdot 2y +10x\cdot 1 = 12x^{3}y^{2}-12x^{2}y+10x.

Passo 10

Terceira derivada parcial em y (a pedido):
f_{yyy}=\frac{\partial}{\partial y}\big(f_{yy}\big)=\frac{\partial}{\partial y}\big(12x^{3}y^{2}-12x^{2}y+10x\big).
Diferenciando termo a termo (lembrando que x é constante):
f_{yyy}=12x^{3}\cdot 2y -12x^{2}\cdot 1 +0 = 24x^{3}y-12x^{2}.

Resposta

f_{xx}=12x^{2}+2y^{3}
f_{yy}=6x^{2}y-4
f_{xy}=6x y^{2}
f_{yx}=6x y^{2}
f_{yyy}=24x^{3}y-12x^{2}

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