a) Calcule
e
para
.
Encontre
se
.
Encontre
Passo 1
O enunciado tem duas partes distintas. Vou listar claramente o que cada parte pede e quais são as informações dadas.
Para a parte (a) o enunciado dá a função
e pede que eu calcule as derivadas parciais de segunda ordem
e
.
Para a segunda parte o enunciado dá a função
e pede que eu encontre a derivada parcial de terceira ordem em relação a
, isto é
.
Passo 2
Antes de começar a calcular, vamos lembrar o conceito e as regras básicas que vou usar (explicação bem mastigada, ok?).
- Derivada parcial em relação a
, denotada ou , significa: diferenciar como função de tratando como constante. - Derivada parcial em relação a
, denotada ou , significa: diferenciar como função de tratando como constante. - Regra do poder (power rule): para uma função do tipo
temos . Se houver um fator constante , então . - Se tivermos um produto onde uma parcela é constante em relação à variável que diferenciamos (por exemplo
ao diferenciar em relação a ), tratamos como constante e aplicamos a regra do poder só ao fator que depende de .
Vou aplicar essas regras passo a passo.
Passo 3
Calcular as primeiras derivadas parciais de
.
-
Derivada parcial em relação a
: Aplicando a regra do poder e lembrando queé constante quando diferenciamos em : -
Derivada parcial em relação a
: Aquié constante e é constante em relação a , então
Passo 4
Agora venho das primeiras derivadas para as derivadas de segunda ordem relacionadas a
.
-
Segunda derivada em relação a
: Diferenciando termo a termo (lembrando queé constante quando derivamos em ): -
Derivada mista
(primeiro em , depois em ): Aquié constante e . Logo
Passo 5
Agora cálculo as segundas derivadas relacionadas a
a partir de
.
-
Segunda derivada em relação a
: Aplicando a regra do poder comtratado como constante: -
Derivada mista
(primeiro em , depois em ): Diferenciando em(lembrando que é constante aqui):
Passo 6
Observação importante (útil na prova): comparei
e
e ambas deram o mesmo resultado
o que costuma ocorrer quando as derivadas são contínuas (teorema de Clairaut). Aqui funciona perfeitamente.
Passo 7
Agora passo para a segunda parte: calcular
para
Vou derivar sucessivamente em relação a
, lembrando que ao derivar em
tratamos
como constante.
Passo 8
Primeira derivada parcial em
:
Aplicando a regra do poder com os fatores constantes em
:
Passo 9
Segunda derivada parcial em
:
Diferenciando termo a termo:
Passo 10
Terceira derivada parcial em
(a pedido):
Diferenciando termo a termo (lembrando que
é constante):