descreva e esboce o domínio da função real de duas ou de três variáveis, isto é, descreva analiticamente e represente geometricamente o maior subconjunto do ℝ^{2} ou do ℝ^{3} que torna a expressão que define a função, verdadeira em .
f(x, y)=\operatorname{arcsen}(x-y)

Passo 1

O enunciado pede o domínio de
f(x,y)=\arcsin(x-y)
ou seja, o maior subconjunto de \mathbb{R}^2 em que a expressão interna de \arcsin é válida como número real. O conteúdo aqui é domínio de funções de várias variáveis e restrição de funções elementares: sabemos que \arcsin(u) exige
-1 \le u \le 1.

Passo 2

Aplicamos a condição ao argumento u = x - y. Para f(x,y) existir em \mathbb{R}, precisamos
-1 \le x - y \le 1.

Passo 3

Escrevemos esse duplo limite como sistema de desigualdades:
\begin{cases} x - y \ge -1,\\\ x - y \le 1. \end{cases}
Isolando y, obtemos
\begin{cases} y \le x + 1,\\\ y \ge x - 1. \end{cases}
Logo, analiticamente, o domínio é
D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x-1 \le y \le x+1\}.

Passo 4

Geometricamente, D é a faixa (strip) infinita do plano limitada pelas retas
y = x - 1 \quad\text{e}\quad y = x + 1,
incluindo as fronteiras. Essas duas retas são paralelas (mesma inclinação 1) e a região entre elas forma um cinturão de largura constante igual à distância perpendicular =\sqrt{2}.

Resposta

Analiticamente:
D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid -1 \le x - y \le 1\}
ou equivalentemente
D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x-1 \le y \le x+1\}.
Geometricamente: Faixa infinita do plano entre as retas y = x - 1 e y = x + 1, incluindo as fronteiras.

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