Verifique a convergência (absoluta ou condicional) ou não da série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{e^{n}-e^{-n}}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{e^{n}-e^{-n}}
ou seja, decidir se ela converge absolutamente, condicionalmente ou diverge. Para isso, primeiro vamos examinar a série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl|\frac{(-1)^{n}}{e^{n}-e^{-n}}\bigr|, que é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{e^{n}-e^{-n}}. Se esta converge, então a série original converge absolutamente; caso contrário, poderíamos testar convergência condicional via critério de Leibniz.

Passo 2

Analisamos a série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{e^{n}-e^{-n}}.
Para n grande, e^{-n} é muito pequeno, de modo que
e^{n}-e^{-n}=e^{n}\bigl(1-e^{-2n}\bigr)\approx e^{n},
portanto os termos gerais satisfazem
\frac{1}{e^{n}-e^{-n}}\sim e^{-n}.
Como \sum e^{-n} é uma série geométrica de razão 1/e<1, isso sugere convergência absoluta.

Passo 3

Para comprovar de forma rigorosa, aplicamos o teste da razão em
\sum a_{n} com
a_{n}=\frac{1}{e^{n}-e^{-n}}.
Calculamos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\lim_{n\to\infty} \frac{e^{n}-e^{-n}}{e^{n+1}-e^{-(n+1)}} =\lim_{n\to\infty} \frac{e^{n}\bigl(1-e^{-2n}\bigr)}{e^{n+1}\bigl(1-e^{-2(n+1)}\bigr)} =\frac{1}{e}\,\frac{1}{1}\;=\;\frac{1}{e}.
Como \tfrac{1}{e}<1, o teste da razão garante que \sum a_{n} converge.

Passo 4

Logo \sum_{n=1}^{\infty}\bigl|\tfrac{(-1)^{n}}{e^{n}-e^{-n}}\bigr| converge, o que implica que a série original converge absolutamente.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{e^{n}-e^{-n}} converge absolutamente.

Exercícios relacionados