Verifique a convergência (absoluta ou condicional) ou não da série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{e^{n}-e^{-n}}
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{e^{n}-e^{-n}}
ou seja, decidir se ela converge absolutamente, condicionalmente ou diverge. Para isso, primeiro vamos examinar a série de termos positivos \sum_{n=1}^{\infty}\bigl|\frac{(-1)^{n}}{e^{n}-e^{-n}}\bigr|, que é \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{e^{n}-e^{-n}}. Se esta converge, então a série original converge absolutamente; caso contrário, poderíamos testar convergência condicional via critério de Leibniz.
Passo 2
Analisamos a série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{e^{n}-e^{-n}}.
Para n grande, e^{-n} é muito pequeno, de modo que