Descreva e esboce o maior domínio possível da função real de duas ou de três variáveis, isto é, descreva analiticamente e represente geometricamente o maior subconjunto do
ou do
que torna a expressão que define a função, verdadeira em
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede: descrever analiticamente e representar geometricamente o maior domínio possível em
ou em
que faz com que a expressão
seja um número real. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função depende das variáveis
e . - O argumento da função
é a expressão . - O objetivo é achar o maior conjunto de pontos em
(e também em ) para os quais é real.
Passo 2
Entendendo o que significa
estar “real”: a função inversa seno — escrita aqui como
— está definida como número real apenas quando seu argumento pertence ao intervalo fechado
. Em linguagem simples: para que
seja um número real é necessário e suficiente que
No nosso caso
. Portanto, a condição que garante que
é real é exatamente que
esteja entre
e
. Vou agora traduzir essa ideia em descrições algébricas e geométricas.
Passo 3
Escrever a condição em forma de desigualdade e manipulá‑la passo a passo.
Começamos com
Subtraindo
de todos os termos:
Multiplicando por
e lembrando que isso inverte as desigualdades:
Reescrevendo de maneira mais usual:
Outra forma compacta e muito útil é usar o valor absoluto:
Essas são formas equivalentes da condição que define o domínio em
.
Passo 4
Interpretação geométrica em
.
- As retas que limitam a região são obtidas quando
e . Escrevendo em forma explícita:
-
Portanto o domínio é a faixa (strip) entre as duas retas paralelas
e , incluindo as próprias retas (porque é real). -
As retas têm inclinação
(são diagonais na grade cartesiana). A distância perpendicular entre essas duas retas pode ser calculada para dar uma noção de “espessura” do strip: para as retas da forma a distância entre e é Logo é um strip de larguramedido perpendicularmente às retas. -
Exemplos rápidos (para treinar na prova):
-
pertence ao domínio porque e . -
está na fronteira porque . -
não pertence porque .
-
Passo 5
Descrição alternativa (parametrização) em
— útil para visualizar ou para provas:
defina e
. Então
e
, e recupera-se
defina
ou seja o domínio é o conjunto de todos os pares
obtidos assim com
e
. Isso mostra que é um produto de um intervalo (na direção do vetor normal) por uma reta (na direção paralela às linhas).
Passo 6
Extensão para
.
Se considerarmos pontos
e a mesma fórmula
(onde
não aparece), então a condição para
ser real não depende de
. Logo o maior domínio em
é
com
livre. Geometricamente isso é um “slab” (prisma infinito) entre os planos paralelos
incluindo esses planos. A largura perpendicular entre os planos é novamente
.
Passo 7
Observações finais e dicas práticas para a prova:
- Sempre que aparecer
ou , lembre que o argumento precisa estar em . Para não há essa restrição. - Para esboçar rapidamente: desenhe as retas
e e sombreie a região entre elas (incluindo as fronteiras). Para imagine esse sombreado sendo “estendido” na direção do eixo .