Descreva e esboce o maior domínio possível da função real de duas ou de três variáveis, isto é, descreva analiticamente e represente geometricamente o maior subconjunto do
\mathbb{R}^{2} ou do
\mathbb{R}^{3} que torna a expressão que define a função, verdadeira em
\mathbb{R}.
f(x, y)=\operatorname{arcsen}(x-y)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=\operatorname{arcsen}(x-y)
e pede: descrever analiticamente e representar geometricamente o maior domínio possível em \mathbb{R}^2 ou em \mathbb{R}^3 que faz com que a expressão f(x,y) seja um número real. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função depende das variáveis x e y.
  • O argumento da função \operatorname{arcsen} é a expressão x-y.
  • O objetivo é achar o maior conjunto de pontos em \mathbb{R}^2 (e também em \mathbb{R}^3) para os quais \operatorname{arcsen}(x-y) é real.

Passo 2

Entendendo o que significa \operatorname{arcsen} estar “real”: a função inversa seno — escrita aqui como \operatorname{arcsen} — está definida como número real apenas quando seu argumento pertence ao intervalo fechado [-1,1]. Em linguagem simples: para que \operatorname{arcsen}(u) seja um número real é necessário e suficiente que
-1 \le u \le 1.
No nosso caso u = x-y. Portanto, a condição que garante que f(x,y) é real é exatamente que x-y esteja entre -1 e 1. Vou agora traduzir essa ideia em descrições algébricas e geométricas.

Passo 3

Escrever a condição em forma de desigualdade e manipulá‑la passo a passo.
Começamos com
-1 \le x-y \le 1.
Subtraindo x de todos os termos:
-1-x \le -y \le 1-x.
Multiplicando por -1 e lembrando que isso inverte as desigualdades:
1+x \ge y \ge x-1.
Reescrevendo de maneira mais usual:
x-1 \le y \le x+1.
Outra forma compacta e muito útil é usar o valor absoluto:
|x-y| \le 1.
Essas são formas equivalentes da condição que define o domínio em \mathbb{R}^2.

Passo 4

Interpretação geométrica em \mathbb{R}^2.
  • As retas que limitam a região são obtidas quando x-y=1 e x-y=-1. Escrevendo em forma explícita: x-y=1 \quad\Longleftrightarrow\quad y = x-1,
x-y=-1 \quad\Longleftrightarrow\quad y = x+1.
  • Portanto o domínio é a faixa (strip) entre as duas retas paralelas y=x-1 e y=x+1, incluindo as próprias retas (porque \operatorname{arcsen}(\pm 1) é real).
  • As retas têm inclinação 1 (são diagonais na grade cartesiana). A distância perpendicular entre essas duas retas pode ser calculada para dar uma noção de “espessura” do strip: para as retas da forma x-y+c=0 a distância entre x-y-1=0 e x-y+1=0 é
    \frac{|1-(-1)|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.
    Logo é um strip de largura \sqrt{2} medido perpendicularmente às retas.
  • Exemplos rápidos (para treinar na prova):
    • (0,0) pertence ao domínio porque x-y=0 e 0\in[-1,1].
    • (1,0) está na fronteira porque x-y=1.
    • (2,0) não pertence porque x-y=2\notin[-1,1].

Passo 5

Descrição alternativa (parametrização) em \mathbb{R}^2 — útil para visualizar ou para provas:
defina u=x-y e v=y. Então u\in[-1,1] e v\in\mathbb{R}, e recupera-se
x = u+v,\qquad y=v,
ou seja o domínio é o conjunto de todos os pares (x,y) obtidos assim com u\in[-1,1] e v\in\mathbb{R}. Isso mostra que é um produto de um intervalo (na direção do vetor normal) por uma reta (na direção paralela às linhas).

Passo 6

Extensão para \mathbb{R}^3.
Se considerarmos pontos (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 e a mesma fórmula f(x,y)=\operatorname{arcsen}(x-y) (onde z não aparece), então a condição para f ser real não depende de z. Logo o maior domínio em \mathbb{R}^3 é
-1 \le x-y \le 1,
com z livre. Geometricamente isso é um “slab” (prisma infinito) entre os planos paralelos
x-y=1 \quad\text{e}\quad x-y=-1,
incluindo esses planos. A largura perpendicular entre os planos é novamente \sqrt{2}.

Passo 7

Observações finais e dicas práticas para a prova:
  • Sempre que aparecer \operatorname{arcsen}(\text{algo}) ou \operatorname{arccos}(\text{algo}), lembre que o argumento precisa estar em [-1,1]. Para \operatorname{arctan} não há essa restrição.
  • Para esboçar rapidamente: desenhe as retas y=x-1 e y=x+1 e sombreie a região entre elas (incluindo as fronteiras). Para \mathbb{R}^3 imagine esse sombreado sendo “estendido” na direção do eixo z.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid -1 \le x-y \le 1\}
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid -1 \le x-y \le 1\}

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