Para cada um dos itens a seguir, determine a solução da equação diferencial:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas e observações iniciais:
- A equação pode ser escrita como
- A equação não está definida no ponto
tal que , isto é, apenas no ponto . - Devemos encontrar a solução geral da equação e também verificar soluções constantes/eventuais soluções singulares (por exemplo
).
A partir daqui começamos a resolver passo a passo.
Passo 2
Vamos tentar transformar a equação usando a substituição clássica para funções homogêneas. Primeiro perceba que a razão do lado direito depende apenas da razão
:
Isso sugere a substituição
onde
é função de
. Aqui explico a ideia: uma equação é chamada homogênea se, ao escrever o lado direito em termos de
, conseguimos reduzir a ordem da equação. A substituição
transforma uma equação em
e
numa equação em
e
.
Passo 3
Calcule
em termos de
e
. Usando derivada do produto:
Substituindo
e
na equação original:
Isolando
:
Vamos simplificar o lado direito. Colocando em denominador comum:
Fatorando o numerador:
Portanto
Passo 4
A equação obtida é separável em
e
. Separe variáveis:
Para integrar o lado esquerdo, fazemos decomposição em frações parciais. Procuramos constantes
tais que
Multiplicando por
e igualando coeficientes:
Comparando coeficientes:
- Constante:
. - Coeficiente de
: → . - Coeficiente de
: → .
Logo a decomposição fica
Passo 5
Agora integramos ambos os lados:
Isto é
A primeira integral é direta:
Para a segunda, completamos o quadrado no denominador:
Usamos a primitiva padrão
. Fazendo a mudança
e
, obtemos
Portanto a soma das integrais é
Passo 6
Arrumando os termos para uma forma implícita mais compacta, somamos
aos dois lados:
Como
e
, obtemos a solução implícita em
:
onde
é constante arbitrária. Esta é a família de soluções gerais (implícita).
Passo 7
Soluções singulares e observações finais:
- A solução constante
satisfaz a equação original (substituindo em dá para ), portanto é uma solução válida. - Não existem outras soluções lineares do tipo
com , porque a condição para constante seria , que leva a ou a raízes não reais de . - A solução geral está dada de forma implícita acima; isolar
explicitamente exige inverter a função arctan, o que normalmente não é agradável nem necessário.
Força: se ficou confuso em algum passo me diz (mas já consegui te entregar a resolução completa passo a passo — você consegue fazer algo parecido na prova copiando essas etapas).