Para cada um dos itens a seguir, determine a solução da equação diferencial:
\left(x^{2}+y^{2}\right) y^{\prime}=y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\left(x^{2}+y^{2}\right) y' = y^{2}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A equação pode ser escrita como
y' = \frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
  • A equação não está definida no ponto (x,y) tal que x^{2}+y^{2}=0, isto é, apenas no ponto (0,0).
  • Devemos encontrar a solução geral da equação e também verificar soluções constantes/eventuais soluções singulares (por exemplo y\equiv 0).
A partir daqui começamos a resolver passo a passo.

Passo 2

Vamos tentar transformar a equação usando a substituição clássica para funções homogêneas. Primeiro perceba que a razão do lado direito depende apenas da razão y/x:
\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\frac{\left(\dfrac{y}{x}\right)^{2}}{1+\left(\dfrac{y}{x}\right)^{2}}.
Isso sugere a substituição
y = v x,
onde v é função de x. Aqui explico a ideia: uma equação é chamada homogênea se, ao escrever o lado direito em termos de y/x, conseguimos reduzir a ordem da equação. A substituição y=vx transforma uma equação em y e x numa equação em v e x.

Passo 3

Calcule y' em termos de v e x. Usando derivada do produto:
y' = v + x\frac{dv}{dx}.
Substituindo y=vx e y' na equação original:
v + x\frac{dv}{dx} = \frac{(vx)^{2}}{x^{2} + (vx)^{2}} = \frac{v^{2}x^{2}}{x^{2}(1+v^{2})} = \frac{v^{2}}{1+v^{2}}.
Isolando x \dfrac{dv}{dx}:
x\frac{dv}{dx} = \frac{v^{2}}{1+v^{2}} - v.
Vamos simplificar o lado direito. Colocando em denominador comum:
\frac{v^{2}}{1+v^{2}} - v = \frac{v^{2} - v(1+v^{2})}{1+v^{2}} = \frac{v^{2} - v - v^{3}}{1+v^{2}}.
Fatorando o numerador:
v^{2} - v - v^{3} = -v(1 - v + v^{2}).
Portanto
x\frac{dv}{dx} = -\frac{v(1 - v + v^{2})}{1+v^{2}}.

Passo 4

A equação obtida é separável em v e x. Separe variáveis:
\frac{1+v^{2}}{v(1 - v + v^{2})}\,dv = -\frac{dx}{x}.
Para integrar o lado esquerdo, fazemos decomposição em frações parciais. Procuramos constantes A,B,C tais que
\frac{1+v^{2}}{v(1 - v + v^{2})} = \frac{A}{v} + \frac{Bv + C}{1 - v + v^{2}}.
Multiplicando por v(1 - v + v^{2}) e igualando coeficientes:
1+v^{2} = A(1 - v + v^{2}) + (Bv + C)v = A - A v + A v^{2} + B v^{2} + C v.
Comparando coeficientes:
  • Constante: A = 1.
  • Coeficiente de v: -A + C = 0 C = 1.
  • Coeficiente de v^{2}: A + B = 1 B = 0.
Logo a decomposição fica
\frac{1+v^{2}}{v(1 - v + v^{2})} = \frac{1}{v} + \frac{1}{1 - v + v^{2}}.

Passo 5

Agora integramos ambos os lados:
\int\left(\frac{1}{v} + \frac{1}{1 - v + v^{2}}\right)\,dv = -\int \frac{dx}{x}.
Isto é
\int \frac{1}{v}\,dv + \int \frac{1}{1 - v + v^{2}}\,dv = -\ln|x| + C.
A primeira integral é direta:
\int \frac{1}{v}\,dv = \ln|v|.
Para a segunda, completamos o quadrado no denominador:
1 - v + v^{2} = v^{2} - v + 1 = \left(v-\tfrac{1}{2}\right)^{2} + \tfrac{3}{4}.
Usamos a primitiva padrão \displaystyle \int \frac{du}{u^{2}+a^{2}} = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{u}{a}\right). Fazendo a mudança u = v-\tfrac{1}{2} e a = \tfrac{\sqrt{3}}{2}, obtemos
\int \frac{1}{1 - v + v^{2}}\,dv = \frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2v-1}{\sqrt{3}}\right).
Portanto a soma das integrais é
\ln|v| + \frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2v-1}{\sqrt{3}}\right) = -\ln|x| + C.

Passo 6

Arrumando os termos para uma forma implícita mais compacta, somamos \ln|x| aos dois lados:
\ln|v| + \ln|x| + \frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2v-1}{\sqrt{3}}\right) = C.
Como \ln|v|+\ln|x|=\ln|vx| e vx=y, obtemos a solução implícita em x,y:
\boxed{\ln|y| + \frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2y - x}{\sqrt{3}\,x}\right) = C,}
onde C é constante arbitrária. Esta é a família de soluções gerais (implícita).

Passo 7

Soluções singulares e observações finais:
  • A solução constante y\equiv 0 satisfaz a equação original (substituindo em (x^{2}+y^{2})y' = y^{2} 0=0 para x\neq 0), portanto é uma solução válida.
  • Não existem outras soluções lineares do tipo y=kx com k\neq 0, porque a condição para v constante seria v = \dfrac{v^{2}}{1+v^{2}}, que leva a v=0 ou a raízes não reais de v^{2}-v+1.
  • A solução geral está dada de forma implícita acima; isolar y explicitamente exige inverter a função arctan, o que normalmente não é agradável nem necessário.
Força: se ficou confuso em algum passo me diz (mas já consegui te entregar a resolução completa passo a passo — você consegue fazer algo parecido na prova copiando essas etapas).

Resposta

\displaystyle \ln|y| + \frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2y - x}{\sqrt{3}\,x}\right) = C\n
\displaystyle y\equiv 0

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